免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com专题01妙用奔驰定理解决三角形面积比问题【题型归纳目录】题型一：直接使用奔驰定理题型二：三角形面积比问题【方法技巧与总结】奔驰定理---解决面积比例问题重心定理：三角形三条中线的交点.已知的顶点，，，则△ABC的重心坐标为.注意：（1）在中，若为重心，则．（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等．重心的向量表示：．奔驰定理：，则、、的面积之比等于奔驰定理证明：如图，令，即满足，，，故.【典型例题】题型一：直接使用奔驰定理例1．（2023春·河南安阳·高一统考期末）已知是内的一点，若的面积分别记为，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（）免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.comA．B．C．D．【答案】A【解析】是的垂心，延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图，则，，因此，，同理，于是得，又，即，由“奔驰定理”有，则，而与不共线，有，，即，所以.故选：A例2．（多选题）（2023·高一单元测试）如图，为内任意一点，角的对边分别为，则总有优美等式成立,此结论称为三角形中的奔驰定理.由此判断以下命题中，正确的有（）A．若是的重心，则有免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.comB．若，则是的内心C．若，则D．若是的外心，且，则【答案】ABD【解析】对于A，是的重心，则,代入就得到,正确；对于B，设点P到边的距离分别为，由得，，即，与已知条件比较知，，则是的内心，正确；对于，即，与比较得到，，错误；对于D，是的外心，且，则，设三角形外接圆半径为R，所以，代入奔驰定理即可得到，正确，故选：ABD.例3．（多选题）（2023春·山东济宁·高一统考期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是内的一点，的面积分别为，则有．设O是锐角内的一点，分别是的三个内角，以下命题正确的有（）A．若，则O为的重心免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.comB．若，则C．若，，则D．若O为的垂心，则【答案】ABD【解析】A：若为的中点，连接，则，故共线，即在中线上，同理可得在其它两中线上，故O为的重心，正确；B：若，由题设知，即O为的重心，所以，，，，则，正确；C：由题设，若，所以，即O为的重心，则，免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com而，则，故，，所以，错误；D：由，则，同理，，因为O为的垂心，则，所以，同理得：，，则，令，由，则，同理：，，综上，，由已知可得，正确.故选：ABD例4．（多选题）（2023春·广东佛山·高一校考期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”奔驰定理：已知O是内的一点，，，的面积分别为，，，则.若O是锐角内的一点，A，B，C是的三个内角，且点O满足.则（）免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.comA．O为的外心B．C．D．【答案】BCD【解析】依题意，，同理OA⊥CB，OC⊥AB，则O为的垂心，A错误；如图，直线分别交AB，AC于P，Q，由选项A知，，，，则，又，即有，又，因此，B正确；由选项B知，，同理，，同理可得，因此，C正确；，同理可得，所以，D正确.故选：BCD题型二：三角形面积比问题例5．（2023·陕西安康·统考一模）已知O是内一点，，若与的面积之比为，则实数m的值为（）免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.comA．B．C．D．【答案】D【解析】由得，设，则.由于，所以A，B，D三点共线，如图所示， 与反向共线，，∴，∴，∴.故选：D例6．（2023·高一课时练习）点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（）A．B．3C．D．【答案】D【解析】如图，延长交于点，设，则，因为共线，...