免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com专题02平面向量痛点问题之三角形“四心”问题【题型归纳目录】题型一:重心定理题型二:内心定理题型三:外心定理题型四:垂心定理【知识点梳理】一、四心的概念介绍:(1)重心:中线的交点,重心将中线长度分成2:1.(2)内心:角平分线的交点(内切圆的圆心),角平分线上的任意点到角两边的距离相等.(3)外心:中垂线的交点(外接圆的圆心),外心到三角形各顶点的距离相等.(4)垂心:高线的交点,高线与对应边垂直.二、三角形四心与推论:(1)是的重心:.(2)是的内心:.(3)是的外心:.(4)是的垂心:.【方法技巧与总结】(1)内心:三角形的内心在向量所在的直线上.为的内心.(2)外心:为的外心.(3)垂心:为的垂心.(4)重心:为的重心.【典型例题】题型一:重心定理例1.(2023春·山东聊城·高一山东聊城一中校考阶段练习)已知点G是三角形ABC所在平面内一点,满足,则G点是三角形ABC的()A.垂心B.内心C.外心D.重心免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com例2.(2023春·山东·高一阶段练习)已知G是的重心,点D满足,若,则为()A.B.C.D.1例3.(2023春·上海金山·高一上海市金山中学校考期末)记内角的对边分别为,点是的重心,若则的取值是()A.B.C.D.变式1.(多选题)(2023春·安徽安庆·高一校考阶段练习)在中,D,E,F分别是边的中点,点G为的重心,则下列结论中正确的是()A.B.C.D.变式2.(2023秋·四川内江·高一四川省内江市第六中学校考阶段练习)已知,,是不在同一直线上的三个点,是平面内一动点,若,,则点的轨迹一定过的()A.外心B.重心C.垂心D.内心变式3.(2023春·上海浦东新·高一上海中学东校校考期末)已知点是的重心,过点作直线与两边分别交于、两点,且,则的最小值是_____.题型二:内心定理例4.(2023春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末)已知点P为的内心,,若,则______.例5.(多选题)(2023·高一单元测试)已知为所在的平面内一点,则下列命题正确的是()A.若为的垂心,,则B.若为锐角的外心,且,则免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.comC.若,则点的轨迹经过的重心D.若,则点的轨迹经过的内心例6.(多选题)(2023春·福建泉州·高一校联考阶段练习)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列命题正确的是()A.若A=30°,,,则△ABC有两解B.若,则角A最大值为30°C.若,则△ABC为锐角三角形D.若,则直线AP必过△ABC内心变式4.(2023春·上海浦东新·高一校考期末)已知点是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足,,则点的轨迹一定通过的()A.外心B.内心C.重心D.垂心变式5.(2023春·陕西西安·高一陕西师大附中校考期中)已知O是平面上的一个定点,A、B、C是平面上不共线的三点,动点P满足,则点P的轨迹一定经过的()A.重心B.外心C.内心D.垂心变式6.(2023·全国·高一假期作业)已知为所在平面上的一点,且.若,则是的()A.重心B.内心C.外心D.垂心变式7.(2023春·四川成都·高一树德中学校考竞赛)在△ABC中,,O为△ABC的内心,若,则x+y的最大值为()免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.comA.B.C.D.题型三:外心定理例7.(2023·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考阶段练习)设为锐角的外心(三角形外接圆圆心),.若,则()A.B.C.D.例8.(2023·浙江·高一校联考期中)已知是的外心,且满足,,则在上的投影向量为()A.B.C.D.例9.(2023春·广东深圳·高一校考期中)已知为的外心,,则的值为()A.B.C.D.变式8.(2023春·四川成都·高一统考期末)设O为的外心,且满足,,则下列结论中正确的个数为()①;②;③.A.3B.2C.1D.0变式9.(2023春·湖北武汉·高一校联考期末)在中,是边上的点,且为的外心,则()A.3B.C.D.变式10.(2023春·河南许昌·高一统考期末)已知P在所在平面内,满足,则P是的()A....