高一数学同步讲义(A版必修二)专题03 妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题(解析版).docx本文件免费下载 【共22页】

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免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com专题03妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题【题型归纳目录】题型一:定值问题题型二:范围与最值问题题型三:求参问题以及其它问题【知识点梳理】(1)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和:证明:不妨设,则,①②①②两式相加得:(2)极化恒等式:上面两式相减,得:————极化恒等式①平行四边形模式:几何意义:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的.②三角形模式:(M为BD的中点)【典型例题】题型一:定值问题MCBA免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com例1.(2023·全国·高三专题练习)如图,在中,是的中点,、是上的两个三等分点,,,则的值是()A.4B.8C.D.【答案】C【解析】因为是的中点,,是上的两个三等分点,所以,,,,所以,,可得,,又因为,所以,故选:C.例2.(2023·全国·高三专题练习)如图,在中,D是边的中点,E,F是线段的两个三等分点,若,,则()A.B.C.1D.2【答案】B【解析】依题意,D是边的中点,E,F是线段的两个三等分点,则,免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com,因此,故选:B.例3.(2023·全国·高一假期作业)如图,在平行四边形中,,点分别是边上的中点,则A.B.C.D.【答案】A【解析】取HF中点O,则,,因此,选A.题型二:范围与最值问题例4.(2022·山东师范大学附中模拟预测)边长为的正方形内有一内切圆,是内切圆的一条弦,点为正方形四条边上的动点,当弦的长度最大时,的取值范围是_________.【答案】【解析】如下图所示:设正方形的内切圆为圆,当弦的长度最大时,为圆的一条直径,,当为正方形的某边的中点时,,免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com当与正方形的顶点重合时,,即,因此,.故答案为:.例5.(2022·湖北省仙桃中学模拟预测)如图直角梯形ABCD中,EF是CD边上长为6的可移动的线段,,,,则的取值范围为________________.【答案】【解析】在上取一点,使得,取的中点,连接,,如图所示:则,,,,即.,当时,取得最小值,此时,所以.当与重合时,,,则,当与重合时,,,免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com则,所以,即的取值范围为.故答案为:例6.(2022·全国·高三专题练习)已知直线与圆相切于点,设直线与轴的交点为,点为圆上的动点,则的最大值为______.【答案】【解析】圆的圆心的为,因为直线与圆相切于点则所以得,所以,,所以直线方程为,圆的方程为,所以,,的中点,则因为,所以故,所以的最大值为故答案为:例7.(2022·全国·高三专题练习)如图,在边长为2的正方形ABCD中,M,N分别为边BC,CD上的动点,以MN为边作等边,使得点A,P位于直线MN的两侧,则的最小值为______.免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com【答案】【解析】如图,连接BN,设BN,MN中点分别为E,F,连接PE,PF,EF.设,,,在中,由勾股定理得,则,BN,MN中点分别为E,F,则EF为的中位线,∴且,∴,在中,由勾股定理得,∴,在等边中,F为MN中点,则,,,在中,由余弦定理得,当N与C重合时,,,不存在,但可验证上述等式依然成立,当且仅当时等号成立.免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com 关于b的函数在上单调递增,∴,当且仅当时等号成立.∴,当且仅当,时等号成立.故答案为:.例8.(2022·陕西榆林·三模(文))四边形为菱形,,,是菱形所在平面的任意一点,则的最小值为________.【答案】【解析】由题设,,取的中点,连接,,,则,,所以.故答案为:例9.(2022·重庆八中模拟预测)中,,,,PQ为内切圆的一条直径,M为边上的动点,则的取值范围为()A.B.C.D.【答案】C【解析】由题可知,,所以是直角三角形,,设内切圆半径为,则,解得,设内切圆圆心为,因为是内切圆的一条直径,所以,,则,,所以,免费...

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