免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com专题05巧妙借助复数的几何意义求与模有关的范围与最值问题【题型归纳目录】题型一：单模长最值问题题型二：多模长之和差最值问题题型三：模长的范围问题【典型例题】题型一：单模长最值问题例1．（2023·陕西榆林·高二陕西省神木中学校考阶段练习）已知复数为虚数单位）满足，则的最小值为（）A．2B．1C．D．4【答案】A【解析】因为，所以复数对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，所以.故选：A例2．（2023·全国·高一专题练习）已知复数z满足：，则的最小值是（）A．1B．C．D．2【答案】B【解析】由复数模的几何意义知满足的对应的点在以点和为端点的线段的中垂线，的中点为，的最小值就是原点到直线的距离即为，故选：B．例3．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）若，则的最大值与最小值的和为___________.免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com【答案】【解析】由几何意义可得：复数表示以（）为圆心的半径为1的圆，则.故答案为：例4．（2023春·上海闵行·高一上海市七宝中学校考期末）在中，，为的中点，过点的直线分别交直线、于不同的两点、．设，，复数，则取到的最小值为__．【答案】【解析】在中，因为，所以.又，，所以.因为E为的中点，所以.因为M、E、N三点共线，所以，即，复数，所以，令，故当，取最小值.故答案为：例5．（2023·高一课时练习）已知复数和，i为虚数单位，求的最大值和最小值．免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com【解析】复数和，则由，可得则的最大值，最小值例6．（2023·高一课时练习）设复数：满足，求的最大值和最小值．【解析】因为，所以；因为所以，解得；所以的最大值为7，最小值为3.例7．（2023·高一课时练习）已知复数，求为何值时，取得最大值和最小值，并求出最大值和最小值．【解析】． ，∴当时，；当时，．例8．（2023·高一单元测试）已知复数满足，且复数在复平面内的对应点为．(1)确定点的集合构成图形的形状；(2)求的最大值和最小值．【解析】（1）设复数在复平面内的对应点为，则，故点的集合是以点为圆心，2为半径的圆，如下图所示．免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com（2）设复数在复平面内的对应点为，则,如下图所示，，则的最大值即的最大值是；的最小值即的最小值是．例9．（2023·广东中山·高二中山一中校考）已知复数满足，则的最小值为______.【答案】【解析】，∴在复平面内对应点的轨迹为以原点为圆心，以1为半径的圆，的几何意义为圆上的点到的距离，如图，免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com的最小值为．故答案为：．例10．（2023·上海浦东新·高三校考阶段练习）已知，且，为虚数单位，则的最大值是__．【答案】8【解析】因为且，所以，根据复数模的几何意义，表示以为圆心，3为半径的圆，所以，表示圆上的点和点的距离，因为圆心到点的距离为，，故答案为：例11．（2023春·上海青浦·高一上海市朱家角中学校考期末）若，且，则的最大值是_______．【答案】【解析】，则复平面上表示复数的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，表示到点的距离， ，所以=的最大值为．故答案为：．题型二：多模长之和差最值问题例12．著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于120°时，则使得的点即为费马点．根据以上材料，若，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，则表示点到三顶点、、的距离之和.依题意结合对称性可知的费马点位于虚轴的负半轴上，且，则.免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com此时.故选：B.例13．（2023·高一课时练习）已知复数满足，则的取值范围是______.【答案】【解析】复数满足，表示以原...