免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com专题07解三角形图形类问题【方法技巧与总结】解决三角形图形类问题的方法：方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.【题型归纳目录】题型一：妙用两次正弦定理题型二：两角使用余弦定理题型三：张角定理与等面积法题型四：角平分线问题题型五：中线问题题型六：高问题【典例例题】题型一：妙用两次正弦定理例1．（2022·全国·高三专题练习）如图，在梯形中，，，，．(1)若，求梯形的面积；(2)若，求．【解析】(1)设，在中，由余弦定理得：，即，而x>0，解得，所以，则的面积，免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com梯形中，，与等高，且，所以的面积，则梯形的面积；(2)在梯形中，设，而，则，，，，在中，由正弦定理得：，在中，由正弦定理得：，两式相除得：，整理得，即解得或，因为，则，即．例2．（2022·河南安阳·模拟预测（理））如图，在平面四边形ABCD中，，，．(1)若，求的面积；(2)若，求BC．免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com【解析】(1)由可得，又故，故(2)设，则，，在中，由正弦定理可得，即，交叉相乘化简得，即，利用降幂公式有，利用辅助角公式有，故，利用诱导公式可得，故，又，解得，又由正弦定理有，故例3．（江苏省南京市宁海中学2023届高三下学期4月模拟考试数学试题）在中，内角的对边分别为，，点在边上，满足，且．(1)求证：；(2)求．【解析】(1)，，；在中，由正弦定理得：；免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com在中，由正弦定理得：；又，，即，.(2)在中，由余弦定理得：；在中，由余弦定理得：；，，即，整理可得：；在中，由余弦定理得：，则，，，即；.例4．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，在平面四边形中，，，.(1)当，时，求的面积；(2)当，时，求.【解析】(1)当时，在中，由余弦定理得，即，解得，，免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com因为，则，又，所以的面积是.(2)在中，由正弦定理得，即，在中，由正弦定理得，即，则，整理得，而，为锐角，所以.题型二：两角使用余弦定理例5．（2023·湖北·襄阳四中模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A的平分线AD交BC边于点D.(1)证明：，；(2)若，，求的最小值.【解析】(1)在和中，可得，，所以，，由正弦定理，得，，两式相除得，可得，，又由，根据余弦定理得所以代入可得.(2)解：由，及，可得免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com根据基本不等式得，解得，当且仅当时等号成立，又由，，可得，所以的最小值是3.例6．（2023·湖北武汉·二模）如图，内一点满足.(1)若，求的值；(2)若，求的长.【解析】(1)，此时.在中，，又，故所以(2)设，在中，.在中，，代入得：.又，故.即，解得：，所以.例7．（2021·全国·高考模拟）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.（1）证明：；免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com（2）若，求.【解析】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理，得，因为，所以，即．又因为，所以．（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理因为，如图，在中，，①在中，．②由①②得，整理得．又因为，所以，解得或，当时，（舍去）．当时，．所以．[方法二]：等面积法和三角形相似如图，已知...