免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com专题10轻松解决空间几何体的体积问题【题型归纳目录】题型一：直接法题型二：割补法题型三：换底法题型四：祖暅原理【典型例题】题型一：直接法例1．（2023·黑龙江哈尔滨·高一校考期末）如图，长方体的体积是24，E为的中点，平面将长方体分成三棱锥和多面体两部分．（1）若，求多面体的表面积；（2）求三棱锥的体积．【解析】（1）因为长方体的体积是24，E为的中点，，所以，则，所以，因此，，，因此，所以多面体的表面积为；（2）因为在长方体中，侧棱和底面垂直，所以平面；由（1）可得三棱锥的体积.免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com例2．（2023·全国·高一专题练习）如图，在正三棱锥中，，．求的体积．【解析】过P作底面垂线，垂直为O，则O为底面三角形的中心，连接AO并延长，交BC于N，则，．∴．∴．例3．（2023·江西南昌·统考二模）如图，A，B，C是正方体的顶点，，点P在正方体的表面上运动，若三棱锥的主视图、左视图的面积都是1，俯视图的面积为2，则三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为三棱锥的主视图、左视图的面积都是1，俯视图的面积为2，正方体边长为2，免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com所以点在如图所示的顶点位置，，三棱锥的体积为.故选：C例4．（2023·北京·高二统考学业考试）如图，正方体的棱长为1，分别为棱上的动点，那么三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】平面，F在上，所以三棱锥的高为正方体的棱长1，又因为E在上，所以以为底边，高为正方形的边长1，由三棱锥的体积公式得，故选：A．题型二：割补法例5．（2023·全国·高三专题练习）在多面体中，四边形为矩形，O，M分别为，BC的中点，，，，，．免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com(1)求多面体的体积；(2)求三棱锥的体积．【解析】（1）将多面体补形得到直三棱柱，如图①，因为，即S为的中点，所以，又，故多面体的体积为．（2）如图②，将多面体补形为长方体，连接，则，易知，又点O到平面MDC的距离为，所以．例6．（2023·广东东莞·高一校考阶段练习）如图，在棱长为的正方体中，截去三棱锥，求（1）截去的三棱锥的表面积；（2）剩余的几何体的体积.免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com【解析】（1）由正方体的特点可知三棱锥中，是边长为的等边三角形，、、都是直角边为的等腰直角三角形，所以截去的三棱锥的表面积（2）正方体的体积为，三棱锥的体积为，所以剩余的几何体的体积为.例7．（2023·辽宁沈阳·高二学业考试）过棱长为2的正方体的三个顶点作一截面，此截面恰好切去一个三棱锥，则该正方体剩余几何体的体积为（）A．4B．6C．D．【答案】C【解析】截去的三棱锥的底面是直角边为2的等腰直角三角形，高为2，三棱锥的体积为正方体的体积为，则该正方体剩余几何体的体积为故选：C例8．（2023·全国·高一专题练习）如图，在长方体中，是的中点，则三棱锥的体积为______.【答案】10【解析】由题意可得，因为是的中点，免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com所以，，，，所以，故答案为：10.题型三：换底法例9．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，且，，E是PD的中点，点F在PC上，且．(1)证明：平面PAB；(2)求三棱锥的体积．【解析】（1）证明：在线段上取点，使得，所以，在中，，且，因为在四边形中，，，所以，，所以，四边形是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）作交于点，因为面，所以，又，与交于点，免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com所以面，，又，所以，所以，所以，得，因为为中点，所以例10．（2023·高一课前预习）如图，在棱长为的正方体中，求三棱锥的体积．【解析】在棱长为的正方体中，是三棱锥底面上的高，所以三棱锥的体积.例11．（2023·河南开封·高一河南省杞县高中校考期中）如图，正...