免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com专题10轻松解决空间几何体的体积问题【题型归纳目录】题型一:直接法题型二:割补法题型三:换底法题型四:祖暅原理【典型例题】题型一:直接法例1.(2023·黑龙江哈尔滨·高一校考期末)如图,长方体的体积是24,E为的中点,平面将长方体分成三棱锥和多面体两部分.(1)若,求多面体的表面积;(2)求三棱锥的体积.【解析】(1)因为长方体的体积是24,E为的中点,,所以,则,所以,因此,,,因此,所以多面体的表面积为;(2)因为在长方体中,侧棱和底面垂直,所以平面;由(1)可得三棱锥的体积.免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com例2.(2023·全国·高一专题练习)如图,在正三棱锥中,,.求的体积.【解析】过P作底面垂线,垂直为O,则O为底面三角形的中心,连接AO并延长,交BC于N,则,.∴.∴.例3.(2023·江西南昌·统考二模)如图,A,B,C是正方体的顶点,,点P在正方体的表面上运动,若三棱锥的主视图、左视图的面积都是1,俯视图的面积为2,则三棱锥的体积为()A.B.C.D.【答案】C【解析】因为三棱锥的主视图、左视图的面积都是1,俯视图的面积为2,正方体边长为2,免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com所以点在如图所示的顶点位置,,三棱锥的体积为.故选:C例4.(2023·北京·高二统考学业考试)如图,正方体的棱长为1,分别为棱上的动点,那么三棱锥的体积为()A.B.C.D.【答案】A【解析】平面,F在上,所以三棱锥的高为正方体的棱长1,又因为E在上,所以以为底边,高为正方形的边长1,由三棱锥的体积公式得,故选:A.题型二:割补法例5.(2023·全国·高三专题练习)在多面体中,四边形为矩形,O,M分别为,BC的中点,,,,,.免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com(1)求多面体的体积;(2)求三棱锥的体积.【解析】(1)将多面体补形得到直三棱柱,如图①,因为,即S为的中点,所以,又,故多面体的体积为.(2)如图②,将多面体补形为长方体,连接,则,易知,又点O到平面MDC的距离为,所以.例6.(2023·广东东莞·高一校考阶段练习)如图,在棱长为的正方体中,截去三棱锥,求(1)截去的三棱锥的表面积;(2)剩余的几何体的体积.免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com【解析】(1)由正方体的特点可知三棱锥中,是边长为的等边三角形,、、都是直角边为的等腰直角三角形,所以截去的三棱锥的表面积(2)正方体的体积为,三棱锥的体积为,所以剩余的几何体的体积为.例7.(2023·辽宁沈阳·高二学业考试)过棱长为2的正方体的三个顶点作一截面,此截面恰好切去一个三棱锥,则该正方体剩余几何体的体积为()A.4B.6C.D.【答案】C【解析】截去的三棱锥的底面是直角边为2的等腰直角三角形,高为2,三棱锥的体积为正方体的体积为,则该正方体剩余几何体的体积为故选:C例8.(2023·全国·高一专题练习)如图,在长方体中,是的中点,则三棱锥的体积为______.【答案】10【解析】由题意可得,因为是的中点,免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com所以,,,,所以,故答案为:10.题型三:换底法例9.(2023·新疆乌鲁木齐·统考一模)如图,在四棱锥中,平面ABCD,,,且,,E是PD的中点,点F在PC上,且.(1)证明:平面PAB;(2)求三棱锥的体积.【解析】(1)证明:在线段上取点,使得,所以,在中,,且,因为在四边形中,,,所以,,所以,四边形是平行四边形,所以,因为平面,平面,所以平面.(2)作交于点,因为面,所以,又,与交于点,免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com所以面,,又,所以,所以,所以,得,因为为中点,所以例10.(2023·高一课前预习)如图,在棱长为的正方体中,求三棱锥的体积.【解析】在棱长为的正方体中,是三棱锥底面上的高,所以三棱锥的体积.例11.(2023·河南开封·高一河南省杞县高中校考期中)如图,正...