免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com专题10轻松解决空间几何体的体积问题【题型归纳目录】题型一：直接法题型二：割补法题型三：换底法题型四：祖暅原理【典型例题】题型一：直接法例1．（2023·黑龙江哈尔滨·高一校考期末）如图，长方体的体积是24，E为的中点，平面将长方体分成三棱锥和多面体两部分．（1）若，求多面体的表面积；（2）求三棱锥的体积．例2．（2023·全国·高一专题练习）如图，在正三棱锥中，，．求的体积．免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com例3．（2023·江西南昌·统考二模）如图，A，B，C是正方体的顶点，，点P在正方体的表面上运动，若三棱锥的主视图、左视图的面积都是1，俯视图的面积为2，则三棱锥的体积为（）A．B．C．D．例4．（2023·北京·高二统考学业考试）如图，正方体的棱长为1，分别为棱上的动点，那么三棱锥的体积为（）A．B．C．D．题型二：割补法例5．（2023·全国·高三专题练习）在多面体中，四边形为矩形，O，M分别为，BC的中点，，，，，．免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com(1)求多面体的体积；(2)求三棱锥的体积．例6．（2023·广东东莞·高一校考阶段练习）如图，在棱长为的正方体中，截去三棱锥，求（1）截去的三棱锥的表面积；（2）剩余的几何体的体积.例7．（2023·辽宁沈阳·高二学业考试）过棱长为2的正方体的三个顶点作一截面，此截面恰好切去一个三棱锥，则该正方体剩余几何体的体积为（）A．4B．6C．D．例8．（2023·全国·高一专题练习）如图，在长方体中，是的中点，则三棱锥的体积为______.免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com题型三：换底法例9．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，且，，E是PD的中点，点F在PC上，且．(1)证明：平面PAB；(2)求三棱锥的体积．例10．（2023·高一课前预习）如图，在棱长为的正方体中，求三棱锥的体积．例11．（2023·河南开封·高一河南省杞县高中校考期中）如图，正三棱锥中，免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com，点分别为的中点，一只蚂蚁从点出发，沿三棱锥侧面爬行到点，求：(1)该三棱锥的体积与表面积；(2)蚂蚁爬行的最短路线长.例12．（2023·陕西西安·高一西安市铁一中学校考期中）如图，直三棱柱中，，，，P为线段上的动点．(1)当P为线段上的中点时，求三棱锥的体积；(2)当P在线段上移动时，求的最小值．题型四：祖暅原理例13．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）公元656年，唐代李淳风注《九章算术》时提到祖暅的开立圆术．祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高．意思是两个同高的几何体，若在等高处的截面积相等，则体积相等．如图是某厂家生产的游泳池浮漂实物图及设计图，则h的长度为____________cm；利用祖暅原理可求得该浮漂的体积为____________．免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com例14．（2023·全国·高三专题练习）祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R的圆柱与半径为R的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R，高为R的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用垂直于半径的平面去截半径为R的半球，且球心到平面的距离为，则平面所截得的较小部分（阴影所示称之为“球冠）的几何体的体积是（）A．B．C．D．例15．（2023·河北邢台·高一河北南宫中学校考阶段练习）祖暅（gèng）（5世纪—6世纪），字景烁，祖冲之之子，范阳郡道县（今河北省涞水县）人，南北朝时期的伟大科学家.他在实践的基础上，...