免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com专题11轻松搞定立体几何的轨迹问题【题型归纳目录】题型一：轨迹图形题型二：轨迹长度题型三：轨迹面积【典型例题】题型一：轨迹图形例1．（2023·全国·高一假期作业）在四棱柱中，侧面底面，且侧面为矩形，底面为菱形，O为与交点，已知．(1)求证：平面；(2)在图上作出平面与平面的交线，并证明．(3)设点M在内（含边界），且，说明满足条件的点M的轨迹，并求的最小值．【解析】（1）因为为矩形，所以.又侧面底面，，所以底面，所以.因为底面为菱形，所以.因为平面，平面，，所以平面；免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com（2）连接交于E，所以，所以面；同理面，所以E为面与面的公共点.连接交于F，同理可证：F为面与面的公共点.连接EF，则EF为平面与平面的交线.因为四棱柱的侧面为平行四边形，所以E为的中点，F为的中点，由三角形的中位线定理可得：.（3）设AC，BD交于点G.如图，在△BC1D内满足的点M的轨迹是线段C1G.理由如下:连接OG，则BD⊥OG.由于BD∥B1D1，故欲使，只需OM⊥BD，从而需BD⊥平面OMG，从而需MG⊥BD.因为在△BC1D中，C1D=C1B，G为BD的中点，所以BD⊥C1G，故点M一定在线段C1G上.当OM⊥CG时，OM取得最小值.在Rt△OC1G中，OG=1，，所以.由三角形等面积法可得：免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com所以.即的最小值为.例2．（2023·全国·高一专题练习）如图，在正方体中，点在侧面及边界上运动并保持，在图中画出点的运动轨迹．【解析】先找到一个平面总是保持与垂直，连接，，，在正方体中，平面，平面,故；又,于点，故平面，又平面,故；同理可得,又于点，故平面；又点在侧面及其边界上运动，根据平面的基本性质得：点的轨迹为平面与平面的交线段．例3．（2023·全国·高一专题练习）如图，在正四棱锥中，是的中点，点在侧面内及其边界上运动，并且总是保持平面．则动点的轨迹与组成的相关图形最有可能是图中的（）免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.comA．B．C．D．【答案】A【解析】分别取、的中点、，连接，，，又 是的中点，∴，，又 面，面，∴面，面，又 ，平面，∴面面，∴当在上移动时，面，此时能够保持平面，则动点的轨迹与组成的相关图形是选项A故选：A．例4．（2023·高一课时练习）如图所示，四棱锥的底面为正方形，侧面为等边三角形，且侧面底面，点在正方形内运动，且满足，则点在正方形内的轨迹一定是（）A．B．免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.comC．D．【答案】B【解析】根据题意，可知，则点符合“点在正方形内的一个动点，且满足”，设的中点为，因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，因为平面，所以，根据题目条件可得，所以和全等，所以，点也符合“点在正方形内的一个动点，且满足”，故动点的轨迹肯定过点和点，而到点到点的距离相等的点为线段的垂直平分面，线段的垂直平分面与平面的交线是一直线，所以的轨迹为线段，故选：B题型二：轨迹长度例5．（2023·湖北十堰·高一郧阳中学校考阶段练习）已知三棱锥的底面为等腰直角三角形，其顶点到底面的距离为3，体积为24，若该三棱锥的外接球的半径为5，则满足上述条件的顶点的轨迹长度为__________.【答案】【解析】由为等腰直角三角形可得：，由顶点到底面的距离为3，三棱锥体积为24，可得：，所以，免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com所以，因为三棱锥外接球的半径为5，为底面的外接圆圆心，在中，，解得，即球心到底面的距离为，又因为顶点到底面的距离为3，所以顶点的轨迹是一个截面圆的圆周，当球心在底面和截面圆之间时，球心到该截面圆的距离为，设顶点的轨迹所在圆的半径为，可得：，所以顶点的轨迹长度为，当球心在底面和截面圆同一侧时，球心到该截面圆的距离为，所以截面圆的半径为，所以顶点的轨迹长度为，综上，顶点的轨迹长度为：.故答案为：.例6．（2023·浙江宁波·高一宁波中学校联考期中）如图，已知长方体，，...