三角形一边的平行线是九年级数学上学期第一章第二节的内容，本讲主要讲解三角形一边平行线性质定理及推论，重点是掌握该定理及其推论，分清该定理及其推论之间的区别和联系，难点是理解该定理和推论的推导过程中所蕴含的分类讨论思想和转化思想，并认识“”字型和“”字形这两个基本图形，为后面学习相似三角形奠定基础．1、三角形一边的平行线性质定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例．如图，已知，直线，且与、所在直线交于点和点，那么．【例1】如图，在中，，，，，求．【难度】★【答案】4．1三角形一边的平行线（一）内容分析知识结构模块一：三角形一边的平行线性质定理知识精讲例题解析【解析】，代入可得：．【总结】考查三角形一边平行线的性质定理．【例2】阳光通过窗口照在教室内，在地面上留下米宽的亮区（如图）．已知亮区一边到窗下的墙角距离米，窗口米，求窗口底边离地面的高．【难度】★【答案】5.8m．【解析】射入的光线平行，则有，代入可求得：，．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，在路灯、太阳光线中经常用到．【例3】在中，点、分别在、的反向延长线上，，若，厘米，则．【难度】★【答案】．【解析】由，可得，故，代入求得．【总结】考查三角形一边平行线的性质定理和比例合比性的综合应用．【例4】如图在中，平分，，厘米，，求的长．【难度】★【答案】．【解析】，．由，代入可求得：．又，．又平分，．，．【总结】本题中涉及一个基本图形，平行线与角平分线一起会产生等腰三角形，同时应用三角形一边平行线的性质定理．2【例5】如图，已知在中，，，，，，求四边形的周长．【难度】★【答案】16．【解析】，．又，，，四边形为平行四边形．代入可求得：，．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的综合应用．【例6】如图，在中，，，点在直线上，过点作交直线与点．如果，求的长．【难度】★★【答案】或．【解析】（1）在线段上时，，由，可得：，代入可得：；（2）在线段延长线上时，，由，可得：，代入可得：；（3）在线段反向延长线上的情况不存在．【总结】题目中的点是在直线或者射线上时，要注意仔细看题，考虑多解情况的出现．3【例7】如图，在中，，于点，点是中点，过点作的垂线交于点，，则．【难度】★★【答案】．【解析】由，，即得：，可得：．又，，//，．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的综合应用．【例8】如图，已知，，，，，求、的长．【难度】★★【答案】，．【解析】由，．代入可得：．同时根据比例的合比性，可得：，即，又根据平行，可得：，．代入求得：．【总结】考查三角形一边平行线定理的变形应用，实际上，任意两条直线被三条平行线所截得的线段对应成比例．【例9】如图，已知是边长为2的等边三角形，，，求的长．【难度】★★【答案】．4【解析】 和为等高三角形，故，由，，为等边三角形，可知也为等边三角形，∴，∴．【总结】平行于等边三角形一边截得的三角形也是等边三角形．【例10】如图，为对角线上任意一点．求证：．【难度】★★【答案】略．【解析】证明：四边形为平行四边形，，．根据三角形一边平行线的性质定理，则有，．【总结】初步认识相似三角形中的“”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化．【例11】如图，在平行四边形中，的延长线上有一点，交于点，交于点．求证：．【难度】★★【答案】略．【解析】证明：四边形为平行四边形，，．5根据三角形一边平行线的性质定理，则有：，．【总结】初步认识相似三角形中的“”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化．【例12】如图，点在线段上，和都是等边三角形．求证：（1）；（2）．【难度】★★【答案】略．【解析】证明：（1）和是等边三角形，． 点在线段上，．，．（2）同（1）易证得，则有．和是等边三角形，，，．【总结】初步认识相似三角形中的“”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化．【例13】如图，的面积是，点、、（与、、是不同的点）分别位于、、各边上，而且，，如果的面积和四边形的面积相等，求的面积．【难...