平面向量的线性运算是九年级数学上学期第一章第四节的内容．在八年级下学期第三章第四节“平面向量及其加减运算”中，我们学习了平面向量的相关概念和加减运算的法则，本节的学习需要建立在此基础上．本讲主要讲解实数与向量相乘，以及向量的线性运算，重点是平面向量的有关概念及线性运算，难点是在几何图形中对目标向量进行线性表示．1、平面向量的相关概念（1）向量：既有大小、又有方向的量叫做向量；（2）向量的长度：向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）；（3）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作；（4）相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量；（5）互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量；（6）平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量．2、平面向量的加减法则（1）几个向量相加的多边形法则；（2）向量减法的三角形法则；（3）向量加法的平行四边形法则．3、实数与向量相乘的运算设k是一个实数，是向量，那么k与相乘所得的积是一个向量，记作．1平面向量的线性运算内容分析知识结构模块一：实数与向量相乘知识精讲（1）如果，且，那么的长度；的方向：当k>0时与同方向；当k<0时与反方向．（2）如果k=0或，那么．4、实数与向量相乘的运算律设m、n为实数，则（1）；（2）；（3）．5、平行向量定理如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数m，使．6、单位向量单位向量：长度为1的向量叫做单位向量．设为单位向量，则．单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同．对于任意非零向量，与它同方向的单位向量记作．由实数与向量的乘积可知：，．2【例1】下列命题中的假命题是（）（A）向量与的长度相等（B）两个相等向量若起点相同，则终点必相同（C）只有零向量的长度等于0（D）平行的单位向量都相等【难度】★【答案】D【解析】D选项，平行的单位向量方向可以相同，此时是相等向量，也可以方向相反，此时是相反向量．【总结】此题主要考查向量的相关概念．【例2】填空：；；；；；．【难度】★【答案】；；；；；．【解析】此题主要考查向量的加减法则，另外，加减法则之间可以转换，比如是利用减法法则，箭头指向被减数，同时，这样运算复杂了，但也是一种思路．【总结】此题主要考查向量的加减运算法则．【例3】如图，已知平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点O．设，，试用、表示下列向量：，，，，，．【难度】★3例题解析ODCBA【答案】．【解析】利用平行四边形对边平行且相等,对角线互相平分的性质来求解以上向量:；；；；；．【总结】此题主要考查向量的加减运算法则．【例4】已知非零向量，求作，．【难度】★【答案】略【解析】与方向相同，长度是的倍；方向与相反，长度是的3倍，作图略．【总结】此题主要考查如何根据已知向量求作所需的向量．【例5】如图，在平行四边形ABCD中，E、F、G、H分别为各边的中点，EG与FH相交于点O．设，，试用向量或表示向量、，并写出图中与相等的向量．【难度】★【答案】，与相等的向量有．【解析】因为四边形ABCD是平行四边形，E、F、G、H分别是各边中点，所以利用平行四边形的判定定理可知图中的四个小四边形都是平行四边形，所以，与相等的向量有五个．【例6】计算：；；．【难度】★【答案】．【解析】（1）；4OHGFEDCBA（2）；（3）．【总结】此题主要考查实数与向量相乘的运算定律，以及去括号法则．【例7】用单位向量表示下列向量：（1）与方向相同，且长度为9；（2）与方向相反，且长度为5；（3）与方向相反，且长度为．【难度】★【答案】．【解析】此题主要考查用单位向量来表示已知向量,．【例8】已知非零向量，求作（1）；（2）．【难度】★★【答案】略【解析】方向与相同，长度是的倍；方向与相反，长度是的倍，作图略．【例9】如图，已知点D、E分别在的边AB、AC上，DE//BC，AD=4，BD=7，试用向量表示向量．【难度】★★【答案】．【解析】 ，∴，又 ，∴．∴．【总结】此题主要是将向量与三角形一边平行线的性质结合起来，在用已知向量表示未知5EDCBA向量时一定要注意方向是否相同．【例10】下列说法中，正确的是（）A．一个向量与零相...