25/25相似三角形的存在性是上海初中数学中考一模考试中的热点，也是难点通常会在24题和25题中出现，大部分题型分为以二次函数为背景的相似三角形存在性问题和以几何图形为背景相似三角形问题．以二次函数为背景的相似三角形问题，即在平面直角坐标系中，通常是用待定系数法求解二次函数的解析式，在求点的坐标过程中需要用到相似三角形的一些性质，如何利用条件找到合适的点使得所求三角形相似是需要重点突破的难点，而且通常不止一种情况，需注意分类讨论．以几何图形为背景的相似三角形问题，通常是注重考查相关的几何定理和性质，有时也会涉及到图形运动（翻折、旋转和点的运动）的问题．若遇到动点问题，需要弄清“动点有一个还是两个？”、“运动路线是线段、射线，还是直线，或者是折线？”、“点的运动的速度是多少？”这几个问题，然后根据题目给出的条件结合常见的基本图形解题规律是解决此类问题常用的策略．相似三角形的存在性问题主要考察同学们根据实际情况对题目进行分类讨论的数学思想，分类讨论的基础上，利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解是常用的方法．九年级同步相似三角形的存在性考点分析步同级年九24/25xyDCBAOE【例1】（2015学年·徐汇区一模·第24题）如图，在中，，已知点A（，），点在第二象限，，抛物线经过点和．（1）求点的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）如果该抛物线的对称轴分别和边的延长线交于点，设点在直线上，当和相似时，直接写出点的坐标．【难度】★★★【答案】（1）B(-2，2)；（2）对称轴为直线x=1；（3）E点坐标为()、()．【解析】解：（1）由A(-1，-1)，易知∠AOH=45°， ∠AOB=90°∴∠BOG=45°，∴△BOG是等腰直角三角形． OB=，∴BG=OG=2，∴B(-2，2)；（2）将A(-1，-1)、B(-2，2)代入，得，解得：，∴对称轴为直线x=1；（3）由A(-1，-1)，解得直线AO解析式为y=x，且C(1，1)，由B(-2，2)，解得直线BO解析式为y=-x，且D(1，-1)，易证AO=CO． ∠AOB=90°，∴AB=BC，∴∠ABO=∠CBO． △BOE和△BCD相似，第1种情况，∠BOE=∠BDC=45°，此时点E就在x轴上，E()；第2种情况，∠BEO=∠BDC=45°，CD:BC=2：，则OE:BO=2：，解得：OE=，∴E()．综上E点坐标为()、()．【总结】本题主要考查了二次函数的相关知识点，和与函数相结合的几何图形中相似三角形的存在时的点的情况．【例2】（2015学年·黄浦区一模·第24题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A（，0）、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，2）．例题解析xyGHBAO图1图3xyDCBAOE图225/25Oxy（1）求抛物线的对称轴及B点的坐标；（2）求证：；（3）点D是射线BC上一点（不与B、C重合），联结OD，过点B作，垂足为外一点E，若与相似，求点D的坐标．【难度】★★★【答案】（1）对称轴是直线，；（2）略；（3）D点的坐标为或．【解析】（1） 抛物线，∴，∴对称轴是直线， ，且A点在B点左侧，∴；（2） ，∠COA=∠COB=90°，∴∽，∴∠CAO=∠BCO；（3）过点，的直线BC表达式，设D点坐标为， ∠CAO+∠ACO=90°，∠CAO=∠BCO，∴∠ACB=∠BCO+∠ACO=90°，∴．当点D在线段BC上时， 与相似，，∴∠EDB=∠CAO， ∠CAO=∠BCO，又∠EDB=∠CDO，∴∠BCO=∠CDO，∴CO=DO， CO=2，∴，解得：（舍），，∴当点D在线段BC的延长线上， 与相似，∠CAO=∠BCO，∠BCO>∠BDE，∴∠BDE=∠CBA，∴DO=BO， BO=4，∴，解得：，（舍），∴，综上所述，D点的坐标为或.【例3】（2014学年·虹口区一模·第24题）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（2，0）、（3，1），二次函数的图像为C1．（1）向上平移抛物线C1，使平移后的抛物线C2经过点A，求抛物线C2的表达式；（2）平移抛物线C1，使平移后的抛物线C3经过A、B两点，抛物线C3与y轴交于点D，求抛物线的表达式以及点D的坐标；九年级同步步同级年九24/25（3）在（2）的条件下，记OD中点为E，点P为抛物线C3对称轴上一点，当与相似时，求点P的坐标．【难度】★★★【答案】（1）；（2），D（0，-4）；（3）点P的坐标为（2，1）或（2，2）．【解析】（1）设抛物线2C的表达式为，把A（2，0）代入上式，得：，∴，∴抛...