23/29直角三角形的存在性问题，分类特征非常明显，首先考虑三角形的哪个角有可能称为直角，再把这个角为直角作为条件，并结合题目中的条件在进行说理计算．此类综合题需要用到的知识点较多，用于考察同学们的思维和分析能力．九年级同步特殊三角形的存在性知识结构模块一：直角三角形的存在性考点分析步同级年九24/29【例1】（2015学年·奉贤区一模·第24题）如图，二次函数图像经过原点和点A（2，0），直线AB与抛物线交于点B，且.（1）求二次函数解析式及其顶点C的坐标；（2）在直线AB上是否存在点D，使得为直角三角形.若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由.【难度】★★★【答案】（1），顶点C(1，-1)；（2）点D的坐标为(2，0)或(，)．【解析】解：（1） 二次函数图像经过原点和点A(2，0)，∴，解得：．∴二次函数的解析式为：； ，∴顶点C的坐标为(1，-1)；（2） ，A（2，0），∴直线AB的解析式为：．第1种情况，当∠BDC=90°时，则．∴△BDM∽△DCN，∴设D(m，-m+2)，则BM=m+1，DN=-m+3，DM=m+1，CN=m-1代入比例式后亦可以求得：m=2(m=-1舍掉)，∴D(2，0)；第2种情况，当∠BCD=90°时， △BPC∽△CQD，∴设D(m，-m+2)，则BP=4，CQ=m-1，CP=2，DQ=-m+3代入比例式后，解得：m=，∴D(，)．由图形可知，不存在．综上所述，点D的坐标为(2，0)或(，)．【总结】本题考查了求二次函数的解析式，和直角三角形的存在性问题，要注意分类讨论．【例2】（2015学年·虹口区一模·第24题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴分别交于点A（2，0）、点B（点B在点A的右侧），与y轴交于点例题解析xyCBAODxyy=x+2NMCBOD第1种情况xyCBAODxyy=x+2QPCBAOD第2种情况23/29OxyABCPMC，．（1）求该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的顶点为D，求四边形ACBD的面积；（3）设抛物线上的点E在第一象限，是以BC为一条直角边的直角三角形，请直接写出点E的坐标．【难度】★★★【答案】（1）21234yxx；（2）8；（3）点E的坐标是（10，8）或（16，35）．【解析】解：（1） 当0x时，3y，∴C（0，3）在Rt△COB中， 1tan2CBA∴12COOB∴6OB∴点B（6，0）把A（2，0）、B(6，0)分别代入23yaxbx，得4230,36630.abab解得：1;42.ab∴该抛物线表达式为21234yxx（2） 221123(4)144yxxx∴顶点D（4，-1）∴628ABCABDACBDSSS四边形（3）点E的坐标是（10，8）或（16，35）．【总结】本题主要考查了二次函数的相关知识点，及函数图像中的直角三角形的存在性问题．【例3】如图，在中，AB=AC=5cm，BC=8cm，点P为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使．（1）求证：∽；（2）设BP=x，CM=y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当为直角三角形时，求点P、B之间的距离．【难度】★★★九年级同步步同级年九24/29ABCPM【答案】（1）略；（2）；（3）BP的长为或4．【解析】（1）证明：在中， AB=AC=5，． ，，又，∴，∴∽；（2）由（1）可得，，∴，整理可得：；（3）当为直角三角形时，分两种情况：①当时，，；②当时， AB=AC，∴点P为BC的中点，∴．综上所述，BP的长为或4．【总结】本题主要考查了相似三角形的基础知识点，和相似形中的直角三角形的存在性问题．【例4】（2015学年·静安区一模·第25题）已知：在梯形ABCD中，AD//BC，AC=BC=10，，点E在对角线AC上，且CE=AD，BE的延长线与射线AD、射线CD分别相交于点F、G．设AD=x，的面积为y．（1）求证：；（2）如图，当点G在线段CD上时，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果是直角三角形，求的面积．【难度】★★★【答案】（1）略；（2）（）；23/29（3）△AEF的面积为15或．【解析】解：（1） AD∥BC，∴∠DAC=∠ECB．又 AD=CE，AC=CB，∴△DAC≌△ECB，∴∠DCA＝∠EBC；（2）过点E作EH⊥BC，垂足为H．AE=AC–CE=．，∴EH=．∴． AF//BC，∴△AEF∽△CEB，∴，∴，∴，定义域为．（3）由于∠DFC=∠EBC<∠ABC，所以∠DFC不可能为直角．（i）当∠DGF=90°时，∠EGC=90°，由∠GCE=∠GBC，可得：△GCE∽△GBC．∴...