15/31相似三角形是初中数学中的重点，也是难点．相当多的知识点可以与相似三角形综合起来考察．本讲将从以下几个方面学习相似三角形的应用，旨在灵活运用相似三角形的判定和性质解决问题．九年级同步相似三角形综合内容分析知识结构步同级年九14/31GM1、平行线与相似三角形利用平行线构造的相似主要有两个基本的模型，即：“A”字型和“X”字型．【例1】过的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F、E．求证：．【难度】★★【答案】略．【解析】过点作交于点．，；是中线，，；．【总结】题考查三角形一边的平行线知识，要学会构造平行基本模型．【例2】如图，已知中，AD、BE相交于G，，．求的值．【难度】★★【答案】．【解析】点作交于点．，；模块一：平行线与相似三角形知识精讲例题解析ABCDEGABCDEF15/31HGM，，，，，，的值为．【总结】本题考查了三角形一边的平行线知识，要学会构造平行基本模型．【例3】如图，在中，点D在线段BC上，，，AD=2，BD=2DC，求AC的长．【难度】★★【答案】．【解析】过点作交于点．，；又，，，．，．又，．．【总结】本题考查了三角形一边的平行线及等腰三角形的相关知识．【例4】已知：P为的中位线MN上任意一点，BP、CP的延长线分别交AC、AB于点D和点E．求证：．【难度】★★【答案】略．【解析】过点作分别交、的延长线于点、．是中位线，．九年级同步ABCDABCDEPNM步同级年九14/31QP；．【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线、三角形中位线的相关知识．【例5】AD是的中线，将BC边所在直线绕点D顺时针旋转角，交边AB于点M，交射线AC于点N，设AM=x·AB，AN=y·AC，（，）．（1）如图1，当为等边三角形且时，求证：∽；（2）如图2，证明．【难度】★★★【答案】略【解析】（1）是等边三角形，是中线，；（2）过作交延长线于点，过作交于点，ABCDNMABCDNM图1图215/31是中线．【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线、相似三角形的判定等的相关知识，构造辅助线是个难点．九年级同步步同级年九14/311、角平分线与相似三角形角平分线类的相似模型如下：分为“内角平分线”和“外角平分线”两种类型，虚线部分为辅助线的作法．【例6】如图，AD是的内角平分线．求证：．【难度】★★【答案】略．【解析】过点作交的延长线于点．，是角平分线；．【总结】本题考查了三角形一边的平行线、角平分线及等腰三角形的相关知识．【例7】如图，AD是的外角平分线．求证：．【难度】★★【答案】略．【解析】过点作交的延长线于点．，，是外角平分线，；模块二：角平分线与相似三角形知识精讲例题解析ABCDMABCDM15/31ABCDABCDEFG，又，．．．【总结】本题考查了三角形一边的平行线、角平分线及等腰三角形的相关知识．【例8】在中，，AD平分交BC于点D．求证：．【难度】★★【答案】略．【解析】过点作交于点．，，平分，．；，是等边三角形．．即．．【总结】本题考查了三角形一边的平行线、角平分线及等边三角形的相关知识．【例9】如图，在中，，过点C作CE//AB，交的平分线AD于E．（1）不添加字母，找出图中所有的相似三角形，并证明；（2）求证：．【难度】★★【答案】略．【解析】（1）①、②．证明①：证明②：（2）由得九年级同步M步同级年九14/31DABCEI，，．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质等知识．【例10】如图，中，AI、BI分别平分、，CE是的外角的平分线，交BI延长线于E，连接CI．（1）变化时，设．若用表示和，那么______，______；（2）若AB=1，且与相似，求AC长．【难度】★★【答案】（1），；（2）略．【解析】（1），．AI、BI分别平分、，，CI平分．．．CE是的外角的平分线，．．，．（2）与相似，，是直角三角形时，分三种情况：①当时，，，．15/31BACDABCD图1图2．．；②当时，，，．，，；③当时，，．；综上所述，．【总结】本题考查相似三角形的性质及其两三角形相似分类讨论，还考查了三角形角平分线的知识．1、a2=b·c与相似三角形常见及扩展模型如下：由图1可证：；由图2可证：，，．【例11】如图，中，，于点D．求证：．【难度】★【答案】略．【解析】，．．，...