1/23函数的概念及正比例函数的概念容分析内知识结构模块一：函数的概念知精识讲例解析题函数的概念及正比例函数的概念是八年级数学上学期第三章第一节、第二节内容，主要对函数和正比例函数的概念进行讲解，重点是函数的概念理解，难点是函数表达式的归纳总结．通过这节课的学习为我们后期学习正反比例函数提供依据．1、函数的概念a)在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量；b)2.在某个变化过程中有两个变量，设为和，如果在变量允许的取值范围内，变量随着变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量叫做变量的函数，叫做自变量.函数用记号表示，表示时的函数值；表示两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式．八年级暑假班班假暑级年八2/23【例1】（1）瓜子每千克12元，买千克瓜子需付款元，用的代数式表示,并指出这个问题中的变量和常量；（2）写出圆周长公式，并指出公式中每个字母所表示的量是常量还是变量．【难度】★【答案】（1），、为变量，12为常量；（2），、为变量，为常量．【解析】（1）总价=单价×数量，可得与的关系式为，根据变量与常量的概念和区别，可知、为变量，12为常量；（2）圆周长公式为，其中表示圆的周长，表示圆的半径，表示圆周率，根据变量与常量的概念和区别，可知、为变量，为常量．【总结】考查变量与常量的概念．【例2】下列变量之间的变化关系不是函数关系的是（）A、三角形的面积与底边的长B、与C、圆的面积和它的半径D、矩形的宽一定时，周长与长【难度】★【答案】A【解析】根据三角形面积公式，可知三角形面积同时与底边长和对应底边上的高有关，即三角形面积与底边的长没有确定的依赖关系，故选A．【总结】考查函数的概念，两个变量之间必须存在确定的依赖关系两个变量才是函数关系．【例3】下列各式中，是否是的函数？为什么？（1）；（2）．【难度】★【答案】（1）是；（2）不是．【解析】（1）对变量的任意值，有唯一确定的值与之相对应，故是的函数；3/23（2）对变量取值范围内的任意值，有两个值与之相对应，即与之间不存在确定的依赖关系，故不是的函数．【总结】函数的概念，对两个变量而言，对一个变量取值范围内任意值，另一个变量都有唯一确定的值与之相对应，则为函数关系，否则不是．【例4】已知汽车驶出站3千米后，以40千米∕小时的速度行驶了40分，请将这段时间内汽车与站的距离（km）表示成（时）的函数．【难度】★【答案】．【解析】根据路程=速度×时间，可知汽车后面所行驶的路程，则汽车与A站的距离，同时汽车行驶时间不超过40分钟，即，可知．【总结】根据所学相关公式，即可得到其中一些量之间的关系，三个量相互关联的量中一个量一定的情况下，另两个量之间则有函数关系．【例5】扇形的面积公式是，其中表示面积，表示圆心角，表示半径，表示圆周率，则其中常量是————．【难度】★★【答案】360、．【解析】常量即为保持数值不变的量，故为360和．【总结】考查常量的概念，即为保持数值不变的量．【例6】物体所受的重力与它的质量之间有如下的关系：，其中表示质量，表示重力，牛/千克，物体所受重力是不是它的质量的函数？【难度】★★【答案】是．【解析】由公式变形可得，在一定的情况下，对任一值，有唯一确定的值与之相对应，即与之间有确定的依赖关系，可知是的函数．【总结】本题主要考查函数的概念，对两个变量而言，对一个变量取值范围内任意值，另一个变量都有唯一确定的值与之相对应，则为函数关系，否则不是．八年级暑假班班假暑级年八4/23【例7】已知变量随着变量的变化而变化，且满足下列关系，试把它们改写成的形式：（1）；（2）；（3）；（4）．【难度】★★★【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或．【解析】（1）移项可得，则；（2）因式分解即有，则；（3）化乘积式即，移项即得，，则；（4）分解因式，即，由此或，由此可得与函数关系式为或．【总结】将式子改写成的形式，只需要通过等式性质进行变形，一边只有，另一边表示成只含有相关的代数式的形式．【例8】某厂有一水池，可贮水900吨，池内原有水100吨，现在以每小时15吨的速度注...