11/20根的判别式是一元二次方程中重要的知识点，可以通过根的判别式在不解方程的情况下判断出根的情况，也可以在已知根的情况之下求出方程中所含字母的取值范围．本节重点能运用根的判别式，判别方程根的情况，会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围等．1．一元二次方程根的判别式：我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作．2．一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．反之，也成立．【例1】.填空题：（1）的判别式的值是_________________；（2）判别式的值是___________________；八年级秋季班根的判别式及其应用内容分析知识结构例题解析模块一：判别式的值与根的关系知识精讲11/20（3）判别式的值是_____________．【难度】★【答案】（1）1；（2）；（3）．【解析】（1），，，；（2）整理成一般形式即为，，，，；（3），，，则．【总结】考查一元二次方程根的判别式的计算，先整理成一般形式再确定相应系数．【例2】填空题：（1）若没有实数根，则a的取值范围是_________________；（2）如果关于x的一元二次方程有实数根，那么a的取值范围是___________________；（3）已知关于x的方程的根的判别式等于0，且是方程的根，则_____________．【难度】★【答案】（1）；（2）且；（3）【解析】（1）方程没有实数根，可知，则方程为一元二次方程，，得；（2）方程有实数根，且为一元二次方程，则有且，即得：且；（3）方程根的判别式为0，即，是方程的根，代入即得：，整理，得：，所以，则，．【总结】考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，注意题目隐含条件．【例3】如果a、c异号，那么一元二次方程的根的情况是（）．A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【难度】★【答案】A【解析】a、c异号，则有恒成立，可知方程有两不等实根，故选A．【总结】考查一元二次方程根的判别式的应用．【例4】不解方程，判定下列方程的根的情况：（1）；八年级秋季班11/20（2）；（3）．【难度】★【答案】（1）两个不相等的实数根；（2）无实数根；（3）略．【解析】（1）因为，，，则有，所以方程有两个不相等的实数根；（2）整理即为，则，，，则有，所以原方程无实数根；（3），可知当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．【总结】考查根据一元二次方程根的判别式判断方程根的情况．【例5】已知关于x的一元二次方程一定有实数根吗？为什么？【难度】★【答案】一定有实数根．【解析】因为，，，则有恒成立，由此可知方程一定有实数根．【总结】方程一定有实数根，恒成立即可．【例6】若关于x的方程没有实数根，求m的最小整数值的情况．【难度】★★【答案】2．【解析】方程整理成一般式即为，方程没有实数根，则，即方程必为一元二次方程，且有，即得，则的最小整数值为2．【总结】考查一元二次方程根的情况确定相应字母取值范围．【例7】关于x的方程有两个实数根，求m的取值范围．【难度】★★【答案】且．【解析】方程整理成一般式即为，方程有两个实数根，则，即方程必为一元二次方程，且有，即得：且．八年级秋季班11/20【总结】考查一元二次方程根的情况确定相应字母取值范围，注意有两个相等实数根也属于有两个实数根的情形．【例8】判断关于x的方程根的情况．【难度】★★【答案】时，方程有两个相等的实数根；时，方程有两个不相等的实数根．【解析】方程整理成一般式即为，则恒成立，由此可得当时，方程有两个相等的实数根；时，方程有两个不相等的实数根．【总结】考查一元二次方程根的判别式的分类讨论，根据字母取值范围讨论．【例9】已知关于x的方程．（1）若方程有两个不相等的实根，求a的取值范围；（2）若方程有两个相等的实根，求a的值，并求出此时方程的根；（3）若方程有实根，求a的最大整数值．【难度】★★★【答案】（1）；（2），方程根为；（3）0．【解析】（1）方程有两个不等实数根，则有，即得：；（2）方程有两个相等实数根，则有，即得，此时方程即为，解得:；（3）方程有实数根，则有，即得，则的最...