本章主要针对图形在运动过程中存在的不变性进行推理论证，找出特殊的三角形的隐含条件作为辅助，解决相关角度不变性及比值和面积的相关问题，对于复杂的综合题，需添加辅助线，常见的辅助线有倍长中线构造全等，做高等，视具体题目而定．本节主要运用三角形的内外角之间的关系进行换算和求解在动点下产生不变角的问题，特别是外角定理的运用在本节中非常重要．压轴综合题内容分析知识结构模块一：角度的不变性知识精讲【例1】如图，已知∠MON=90°，点A、B分别在射线OM、ON上，∠OAB的内角平分线与∠OBA的外角平分线所在的直线交于点C．（1）试说明∠C与∠O的关系；（2）当点A、B分别在射线OM、ON上移动时，试问∠C的大小是否发生变化，若保持不变，求出∠C的大小；若发生变化，求出其变化范围．【难度】★★★【答案】（1）2∠C=∠O；（2）不变，为45°．【解析】∠ACB的大小不变．理由： AC平分∠OAB（已知），∴∠BAC=∠OAB（角平分线的定义）， BD平分∠ABN（已知），∴∠ABD=∠ABN（角平分线定义）， ∠ABN=∠MON+∠OAB（三角形的外角性质），∠ABD=∠ACB+∠BAC（三角形的外角性质），∴∠ACB=∠ABD-∠BAC=（∠MON+∠OAB）-∠OAB=∠MON=×90°=45°．【总结】本题主要考察了三角形外角和定理，结合角平分线的性质．例题解析ONMDCBA【例2】如图，在平面直角坐标系中，△ABO是直角三角形，∠AOB=90°，斜边AB与y轴交于点C．（1）若∠A=∠AOC，求证：∠B=∠BOC；（2）延长AB交x轴于点E，过O作OD⊥AB，且∠DOB＝∠EOB，∠OAE＝∠OEA，求∠A的度数；（3）如图，OF平分∠AOM，∠BCO的平分线交FO的延长线于点P，当△AOB绕O点旋转时（斜边AB与y轴正半轴始终交于点C），在（2）的条件下，试问∠P的度数是否发生变化?若不变，请求出其度数；若改变，请说明理由【难度】★★★【答案】（1）略；（2）∠A=30°；（3）不变，25°．【解析】（1） △AOB是直角三角形∴∠A+∠B=90°，∠AOC+∠BOC=90° ∠A=∠AOC，∴∠B=∠BOC．（2） ∠A+∠ABO=90°，∠DOB+∠ABO=90°∴∠A=∠DOB，即∠DOB=∠EOB=∠OAE=∠OEA ∠DOB+∠EOB+∠OEA=90°∴∠A=30°．（3）∠P的度数不变，∠P=25° ∠AOM=90°-∠AOC，∠BCO=∠A+∠AOC又OF平分∠AOM，CP平分∠BCO∴∠FOM=45°-∠AOC，∠PCO=∠A+∠AOC∴∠P=180°-（∠PCO+∠FOM+90°）=45°-∠A=25°．【总结】本题主要考察了三角形内角和与外角和定理，融入结合角平分线的性质，综合性较强．OyxFMEPCBAOyxEDCBA【例3】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（－1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积；（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使，若存在这样一点，求出点P的坐标，若不存在，试说明理由．（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）给出下列结论：①的值不变，②的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值．【难度】★★★【答案】（1）C（0，2）、D（4，2），；（2）P1（0，4），P2（0，-4）；（3）①不变．【解析】（1）依题意知，将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，故C、D两点点y值为2．所以点C，D的坐标分别为C（0,2），D(4,2)，=CO×AB=2×4=8．（2）理由如下：设点P到AB的距离为h，=×AB×h=2h，由，得2h=8，解得h=4，∴P（0，4）或（0，-4）．（3）①是正确的结论，过点P作PQ∥CD，因为AB∥CD，所以PQ∥AB∥CD（平行公理的推论）∴∠DCP＝∠CPQ， ∠BOP＝∠OPQ(两直线平行，内错角相等)，∴∠DCP＋∠BOP＝∠CPQ+∠OPQ＝∠CPO，所以＝=1．【解析】本题考察了在平面直角坐标系中的数形结合问题，与平行线性质解决角的问题．3-13yxPDCBAOyxODCBA-1yxODCBA【例4】如图，在平面直角坐标系中，∠ABO=2∠BAO，P为x轴正半轴上一动点，BC平分∠ABP，PC平分∠APF，OD平分∠POE．（1）求∠BAO的度数；（2）求证：∠C=15°+∠OAP；（3）P在运动中，∠C+∠D的值是否发生变化，若发生变化，说明理由，若...