本章主要针对图形在运动过程中存在的不变性进行推理论证，找出特殊的三角形的隐含条件作为辅助，解决相关角度不变性及比值和面积的相关问题，对于复杂的综合题，需添加辅助线，常见的辅助线有倍长中线构造全等，做高等，视具体题目而定．本节主要运用三角形的内外角之间的关系进行换算和求解动点下产生不变角的问题，特别是外角定理的运用在本节中非常重要．压轴综合题内容分析知识结构模块一：角度的不变性知识精讲【例1】如图，已知∠MON=90°，点A、B分别在射线OM、ON上，∠OAB的内角平分线与∠OBA的外角平分线所在的直线交于点C．（1）试说明∠C与∠O的关系；（2）当点A、B分别在射线OM、ON上移动时，试问∠C的大小是否发生变化，若保持不变，求出∠C的大小；若发生变化，求出其变化范围．【例2】如图，在平面直角坐标系中，△ABO是直角三角形，∠AOB=90°，斜边AB与y轴交于点C．（1）若∠A=∠AOC，求证：∠B=∠BOC；（2）延长AB交x轴于点E，过O作OD⊥AB，且∠DOB＝∠EOB，∠OAE＝∠OEA，求∠A的度数；（3）如图，OF平分∠AOM，∠BCO的平分线交FO的延长线于点P，当△AOB绕O点旋转时（斜边AB与y轴正半轴始终交于点C），在（2）的条件下，试问∠P的度数是否发生变化?若不变，请求出其度数；若改变，请说明理由例题解析OyxFMEPCBAOyxEDCBAONMDCBA【例3】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（－1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积；（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使，若存在这样一点，求出点P的坐标，若不存在，试说明理由．（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）给出下列结论：①的值不变，②的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值．如图，在平面直角坐标系中，∠ABO=2∠BAO，P为x轴正半轴上一动点，BC平分∠ABP，PC平分∠APF，OD平分∠POE．（1）求∠BAO的度数；（2）求证：∠C=15°+∠OAP；（3）P在运动中，∠C+∠D的值是否发生变化，若发生变化，说明理由，若不变，求出其值．yxOGPFEDCBA3-13yxPDCBAOyxODCBA-1yxODCBA旋转问题是七年级几何证明的一个难点，在旋转的过程中，找出隐含的边角之间的关系是解决旋转类问题是关键；本节的另一个难点是考察空间想象力，找出旋转之后图形的位置．【例4】如图，正方形OGHK绕正方形ABCD中点O旋转，其交点为E、F，求证：AE+CF=AB．【例5】【例6】如图1、图2，△AOB，△COD均是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，（1）在图1中，AC与BD相等吗，有怎样的位置关系?请说明理由．（2）若△COD绕点O顺时针旋转一定角度后，到达图2的位置，请问AC与BD还相等吗，为什么?模块二：旋转问题知识精讲例题解析OKHGFEDCBACOCDA图2BOD图1BA【例7】如图1，在梯形中，∥，，点为的中点，点在底边上，且．（1）请你通过观察、测量、猜想，得出的度数；（2）若梯形中，∥，不是直角，点在底边或其延长线上，如图2、图3，其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否仍然成立，若都成立，请在图2、图3中选择其中一图进行证明；若不都成立，请说明理由．【例8】如图，C是线段BD上一点，分别以BC、CD为边在BD同侧作等边△ABC和等边△CDE，AD交CE于F，BE交AC于G，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有（）．A．B．2对C．3对D．4对KGFEDCBA图3图2图1FEDCBAFEDCBAFEDCBA【例9】已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形．求证：CF平分∠AFB．（备注：直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等）【例10】如图1，E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠EAF＝45°．（1）请猜测线段EF、BE、DF之间的等量关系并证明．（2）变式：如图2，E、F分别在四边形ABCD的边BC、CD上，∠B＋∠D＝180°，AB＝AD，∠EAF＝∠BAD，则线段BE、EF、FD的等量关系又如何?请加以证明．NMFEDCBA图2FEDCBA图1FEDCBA【例11】请阅读下列材料：已知：如图1在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE=45°．探究以线段BD、DE...