知识必备12相似三角形易错点：在研究三角形相似时,如果没有明确对应关系时,就一定要分类讨论,否则解答不完整.一、解答题1．（2024上·安徽合肥·九年级统考期末）如图，在中，，，点P从点A开始沿边向B点以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从A，B同时出发，问经过几秒钟，与相似．【答案】经过秒或秒钟，与相似．【分析】本题考查相似三角形的性质，设经过秒钟时，与相似，得到，，，讨论对应边的不同，分别利用相似三角形对应边成比例，建立方程求解即可．【详解】解：设经过秒钟，与相似．由题意得，，，，，，与相似，当与对应时，有，即，解得，当与对应时，有，即，解得，综上所述，经过秒或秒钟，与相似．2．（2023上·浙江杭州·九年级统考期末）四边形中，点E在边上，连结．(1)如图1，若，证明：．(2)如图2，若四边形为矩形，，，且与E、B、C为顶点的三角形相似，求的长．【答案】(1)见解析(2)或1或4【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质等知识．（1）由点E在边上，且，得，，所以，又因为，所以根据“有两个角分别相等的两个三角形相似”即可证明；（2）分两种情况：或，设，根据相似三角形的对应边成比例列方程求出x的值即可．【详解】（1）证明： 点E在边上，且，∴，，∴， ，∴；（2）如图2、如图3，分两种情况：设， ，当时，∴，∴，解得；时，∴，∴，解得：，综上，或1或4．3．（2024上·陕西宝鸡·九年级宝鸡市新建路中学校考期末）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度运动，点从点沿边向点以的速度运动．若点、点同时出发，当某点到终点时，另一点立即停止运动．运动时间为．(1)_________，_________；（用含的代数式表示）(2)请计算当点运动多少秒时，以、、为顶点的三角形与相似．【答案】(1)；(2)秒或秒【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的面积，（1）根据路程＝速度×时间以及线段的和差，即可列出代数式；（2）分两种情况，或，分别得到关于的方程，求出的值，即可解决问题；掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．【详解】（1）解： 点从点开始沿边向点以的速度运动，点从点沿边向点以的速度运动，，，∴，，故答案为：；；（2）设点运动秒时，以、、为顶点的三角形与相似， 点从点开始沿边向点以的速度运动，点从点沿边向点以的速度运动，点、点同时出发，当某点到终点时，另一点立即停止运动，，，∴点运动到终点所需时间为：，点运动到终点所需时间为：，∴的取值范围是：， ，∴可分两种情况：当时，∴，∴，∴；当时，∴，∴，∴；∴当点运动2.4秒或秒时，以、、为顶点的三角形与相似．4．（湖南省常德市初中教学联盟校2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）综合与实践如图，在中，，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿方向向终点B匀速运动，同时点Q以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿方向向终点A匀速运动，连接．设运动的时间为t秒．(1)求的长（用含t的代数式表示）．(2)当秒时，求的面积．(3)如图2，连接，当为直角三角形时，求所有满足条件t的值．【答案】(1)(2)9(3)或【分析】本题考查了勾股定理解直角三角形，相似三角形的性质与判定等知识，熟知相关知识并根据题意添加适当辅助线构造直角三角形运用勾股定理或相似三角形是解题关键，第（3）步要注意分类讨论．（1）根据勾股定理求出，根据题意即可表示出；（2）作，根据题意得到，，证明，求出，根据三角形面积公式即可求出；（3）先表示出，，，，分和两种情况，分别根据勾股定理和相似三角形的判定和性质即可求解．【详解】（1）解：在中，由勾股定理可得，由题意可得：，则；（2）解：如图，作，由题意可得：，， ，∴， ，∴，∴，即，解得，；（3）解：由题意可得：，，，，①如图2，当时，根据勾股定理得，，∴，∴解得：，符合题意；②如图3，当时，作垂足为E，由（1）得，∴，即，∴，，∴． ，∴，∴，∴，，，即，解得，（不合题意，舍去）．∴或．一．比例的性质（共2小题）1．（2023•金昌）若，则A．6B．C．1D．【分析】直接利用比例的性质，内项之积等于外项之积即可得出答案．...