小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题27双变量型三角形面积最值问题最值问题——构造函数最的基本解法有几何法和代法：几何法是根据已知的几何量之的相互系、平面几何和值问题数间关解析几何知加以解的识决(如抛物上的点到某定点和焦点的距离之和、光反射等线个线问题)；代法是建数立求解目于某或量的函，通求解函的最普通方法、基本不等式方法、方法等标关个两个变数过数值导数解的．决【例题选讲】[例1](2020·新全Ⅱ国)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点M(2，3)，点A为其左顶点，且AM的斜率为．(1)求C的方程；(2)点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值．[规范解答](1)由题意可知直线AM的方程为y－3＝(x－2)，即x－2y＝－4．当y＝0时，解得x＝－4，所以a＝4．由椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点M(2，3)，可得＋＝1，解得b2＝12．所以C的方程为＋＝1．(2)设与直线AM平行的直线方程为x－2y＝m．如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值．联立可得3(m＋2y)2＋4y2＝48，化简可得16y2＋12my＋3m2－48＝0，所以Δ＝144m2－4×16(3m2－48)＝0，即m2＝64，解得m＝±8，与AM距离比较远的直线方程为x－2y＝8，点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，即d＝＝，由两点之间的距离公式可得|AM|＝＝3．所以△AMN的面积的最大值为×3×＝18．[例2]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点M在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)若不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，与直线OM相交于点N，且N是线段AB的中点，求△OAB面积的最大值．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com[规范解答](1)由椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点M在椭圆C上，得解得所以椭圆C的方程为＋＝1．(2)易得直线OM的方程为y＝x．当直线l的斜率不存在时，AB的中点不在直线y＝x上，故直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝kx＋m(m≠0)，与＋＝1联立消y，得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，所以Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝48(3＋4k2－m2)>0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，由y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝，所以AB的中点N，因为N在直线y＝x上，所以－＝2×，解得k＝－，所以Δ＝48(12－m2)>0，得－2<m<2，且m≠0，|AB|＝|x2－x1|＝·＝·＝，又原点O到直线l的距离d＝，所以S△OAB＝××＝≤＝，当且仅当12－m2＝m2，即m＝±时等号成立，符合－2<m<2，且m≠0，所以△OAB面积的最大值为．[例3]已知平面上一动点P到定点F(，0)的距离到直与它线x＝的距离之比，点为记动P的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)设直线l：y＝kx＋m与曲线C交于M，N两点，O为坐标原点，若kOM·kON＝，求△MON的面积的最大值．[规范解答](1)设P(x，y)，则＝，化简，得＋y2＝1．(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，依题意，得Δ＝(8km)2－4(4k2＋1)(4m2－4)>0，化简，得m2<4k2＋1，①x1＋x2＝－，x1x2＝，y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，若kOM·kON＝，则＝，即4y1y2＝5x1x2，∴4k2x1x2＋4km(x1＋x2)＋4m2＝5x1x2，∴(4k2－5)·＋4km＋4m2＝0，即(4k2－5)(m2－1)－8k2m2＋m2(4k2＋1)＝0，化简，得m2＋k2＝，②|MN|＝|x1－x2|＝＝＝， 原点O到直线l的距离d＝，∴S△MON＝|MN|·d＝．设4k2＋1＝t，由①②得0≤m2<，<k2≤，∴<t≤6，≤<，S△MON＝＝＝3≤1，∴当＝，即k＝±时，△MON的面积取得最大值为1．[例4]已知动圆过定点F，且定直与线l：y＝－相切．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(1)求动圆圆心的轨迹曲线C的方程；(2)若点A(x0，y0)是直线x－y－1＝0上的动点，过点A作曲线C的切线，切点记为M，N，求证：直线MN恒过定点，并求△AMN面积S的最小值．[规范解答](1)根据抛物线的定义，由题意可得，动圆圆心的轨迹C是以点F为焦点，以定直线l：y＝－为准线的抛物线．设抛物线C：x2＝2py(p＞0)，因为点F到准线l：y＝－的距离为，所以p＝，所以圆心的轨迹曲线C的方程为x2＝y．(2)证明：因为x2＝y，所以y′＝2x，设切点M(x1...