第1页|共5页2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分.考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时,考生务必将答案凃写在答题卡上,答在试卷上的无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选凃其他答案标号.2.本卷共8小题,每小题5分,共40分.参考公式:·如果事件A,B互斥,那么·棱柱的体积公式V=Sh，其中S表示棱柱的底面面积,h表示棱柱的高.·如果事件A,B相互独立,那么·球的体积公式其中R表示球的半径.)()()(BPAPAPBÈ=+)()(()BPAAPPB=34.3VRp=第2页|共5页一．选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)已知集合A={x∈R||x|≤2},A={x∈R|x≤1},则(A)(B)[1,2](C)[－2,2](D)[－2,1](2)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=y－2x的最小值为(A)－7(B)－4(C)1(D)2(3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,若输入x的值为1,则输出S的值为(A)64(B)73(C)512(D)585(4)已知下列三个命题:①若一个球的半径缩小到原来的,则其体积缩小到原来的;②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等;③直线x+y+1=0与圆相切.其中真命题的序号是:(A)①②③(B)①②(C)①③(D)②③(5)已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为,则p=(A)1(B)(C)2(D)3(6)在△ABC中,则=(A)(B)(C)(D)(7)函数的零点个数为(A)1(B)2(C)3(D)4(8)已知函数.设关于x的不等式的解集为A,若,则实数a的取值范围是ABÇ=(,2]-¥360,20,30,xyyxy³--£+-ì-£ïíïî12182212xy+=22221(0,0)xyabab-=>>22(0)pxpy=>332,2,3,4ABBCABCpÐ===sinBACÐ101010531010550.5()2|log|1xfxx=-()(1||)fxxax=+()()fxafx+<11,22Aéù-Íêúëû第3页|共5页(A)(B)(C)(D)2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共12小题,共110分.二．填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.(9)已知a,b∈R,i是虚数单位.若(a+i)(1+i)=bi,则a+bi=.(10)的二项展开式中的常数项为.(11)已知圆的极坐标方程为,圆心为C,点P的极坐标为,则|CP|=.(12)在平行四边形ABCD中,AD=1,,E为CD的中点.若ACuuur·BEuuur＝1,则AB的长为.(13)如图,△ABC为圆的内接三角形,BD为圆的弦,且BD//AC.过点A做圆的切线与DB的延长线交于点E,AD与BC交于点F.若AB=AC,AE=6,BD=5,则线段CF的长为.(14)设a+b=2,b>0,则当a=时,取得最小值.三．解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(15)(本小题满分13分)已知函数.(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;(Ⅱ)求f(x)在区间上的最大值和最小值.15,02æö-ç÷ç÷èø13,02æö-ç÷ç÷èø15,02130,2æö+Èæç÷ç÷èö-ç÷çèø÷ø52,1æö--ç÷çèø¥÷61xxæö-ç÷èø4cosrq=4,3pæöç÷èø60BAD°Ð=1||2||aab+2()2sin26sincos2cos41,fxxxxxxpæö=-++-ç÷+èøÎR0,2péùêúëû第4页|共5页(16)(本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片,其中有红色卡片4张,编号分别为1,2,3,4;白色卡片3张,编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).(Ⅰ)求取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ)再取出的4张卡片中,红色卡片编号的最大值设为X,求随机变量X的分布列和数学期望.(17)(本小题满分13分)如图,四棱柱ABCD－A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB//DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E为棱AA1的中点.(Ⅰ)证明B1C1⊥CE;(Ⅱ)求二面角B1－CE－C1的正弦值.(Ⅲ)设点M在线段C1E上,且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为,求线段AM的长.(18)(本小题满分13分)设椭圆的左焦点为F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设A,B分别为椭圆的左右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.若,求k的值.(19)(本小题满分14分)已知首项为的等比数列不是递减数列,其前n项和为,且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设,求数列的最大项的值与最小项的值.(20)(本小题满分14分)已知函数.(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)证明:对任意的t>0,存在唯一的s,使.(Ⅲ)设(Ⅱ)中所确定的s关于t的函数为,证明:当时,有2622221(0)xyabab+=>>33433··8ACDBADCB+=uuuruuuruuuruuur32{}na(*)nSnÎN{}na*()1nnnTSnSÎ=-N{}nT2l()nfxxx=()tfs=()sgt=2>et第5页|共5页.2ln()15ln2gtt<<