更多资料添加微信号：DEM2008淘宝搜索店铺：优尖升教育网址：shop492842749.taobao.com专题5.3平行线中的常见模型【典例1】如图1，AB//CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．小明的思路是：如图2，过P作PE//AB，通过平行线性质可求∠APC的度数．（1）请你按小明的思路，写出∠APC度数的求解过程；（2）如图3，AB//CD，点P在直线BD上运动，记∠PAB=∠α，∠PCD=∠β．①当点P在线段BD上运动时，则∠APC与∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；②若点P不在线段BD上运动时，请直接写出∠APC与∠α、∠β之间的数量关系．【思路点拨】（1）过P作PE//AB，利用平行线的性质即可得出答案；（2）①过P作PE//AB，再利用平行线的性质即可得出答案；②分P在BD延长线上和P在DB延长线上两种情况进行讨论，结合平行线的性质即可得出答案．【解题过程】解：（1）如图2，过P作PE//AB AB//CD，∴PE//AB//CD，∴∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，更多资料添加微信号：DEM2008淘宝搜索店铺：优尖升教育网址：shop492842749.taobao.com更多资料添加微信号：DEM2008淘宝搜索店铺：优尖升教育网址：shop492842749.taobao.com ∠PAB=130°，∠PCD=120°，∴∠APE=50°，∠CPE=60°，∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．（2）①∠APC=∠α+∠β，理由：如图3，过P作PE//AB， AB//CD，∴AB//PE//CD，∴∠α=∠APE，∠β=∠CPE，∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β；②∠APC=|∠α−∠β|．如备用图1，当P在BD延长线上时，∠APC=∠α−∠β；理由：如备用图1，过P作PG//AB， AB//CD，∴AB//PG//CD，∴∠α=∠APG，∠β=∠CPG，∴∠APC=∠APG−∠CPG=∠α−∠β；如备用图2所示，当P在DB延长线上时，∠APC=∠β−∠α；理由：如备用图2，过P作PG//AB， AB//CD，∴AB//PG//CD，∴∠α=∠APG，∠β=∠CPG，更多资料添加微信号：DEM2008淘宝搜索店铺：优尖升教育网址：shop492842749.taobao.com更多资料添加微信号：DEM2008淘宝搜索店铺：优尖升教育网址：shop492842749.taobao.com∴∠APC=∠CPG−∠APG=∠β−∠α；综上所述，∠APC=|∠α−∠β|．1．（2021·全国·九年级专题练习）在图中，若AB/¿CD，又得到什么结论？【思路点拨】根据图①可得∠E=∠B+∠D，根据图②可得∠B+∠F+∠D=∠E+∠G，即可根据规律得出题目的结论．【解题过程】解：①如图：过点E作EF//AB， AB/¿CD，EF//AB,∴AB//EF//CD，∴∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠≝¿，∴∠E=∠B+∠D；②如图，过E点作EH//AB，过F点作FJ//AB，过G点作GI//AB， EH//AB，FJ//AB，GI//AB，AB//CD，∴AB//EH//JF//GI//CD，更多资料添加微信号：DEM2008淘宝搜索店铺：优尖升教育网址：shop492842749.taobao.com更多资料添加微信号：DEM2008淘宝搜索店铺：优尖升教育网址：shop492842749.taobao.com∴∠ABE=∠BEH，∠HEF=∠EFJ，∠JFG=∠FGI，∠IGD=∠GDC，∴∠ABE+∠EFJ+∠JFG+∠GDC=∠BEH+∠HEF+∠FGI+∠IGD，即∠B+∠F+∠D=∠E+∠G;③如图：，根据以上规律可得：∠B+∠F1+∠F2+⋅⋅⋅+∠Fn−1+∠D=∠E1+∠E2+⋅⋅⋅+∠En．2．（2021春·广东东莞·七年级东莞市长安实验中学校考期中）如图，已知AB∥CD．（1）如图1所示，∠1+2∠＝；（2）如图2所示，∠1+2+3∠∠＝；并写出求解过程．（3）如图3所示，∠1+2+3+4∠∠∠＝；（4）如图4所示，试探究∠1+2+3+4++∠∠∠⋯∠n＝．【思路点拨】（1）由两直线平行，同旁内角互补，可得答案；（2）过点E作AB的平行线，转化成两个图1，同理可得答案；（3）过点E，点F分别作AB的平行线，转化成3个图1，可得答案；（4）由（2）（3）类比可得答案．更多资料添加微信号：DEM2008淘宝搜索店铺：优尖升教育网址：shop492842749.taobao.com更多资料添加微信号：DEM2008淘宝搜索店铺：优尖升教育网址：shop492842749.taobao.com【解题过程】解：（1）如图1， AB∥CD，∴∠1+2=180°∠（两直线平行，同旁内角互补）．故答案为：180°；（2）如图2，过点E作AB的平行线EF， AB∥CD，∴AB∥EF，CD∥EF，∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+3=180°∠，∴∠1+2+3=360°∠∠；（3）如图3，过点E，点F分别作AB的平行线，类比（2）可知∠1+...