更多资料添加微信号：DEM2008淘宝搜索店铺：优尖升教育网址：shop492842749.taobao.com专题5.2平行线中的几何综合【典例1】将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，已知PQ∥MN，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°．（1）若三角板如图1摆放时，则∠α=°，∠β=°．（2）现固定△ABC位置不变，将△DEF沿AC方向平移至点E正好落在PQ上，如图2所示，作∠PEA和∠MBC的角平分线交于点H，求∠EHB的度数；（3）将（2）中的△DEF固定，在△ABC绕点A以每秒15°的速度顺时针旋转至AB与直线AN首次重合的过程中，当△ABC的某条边与△DEF的一条边平行时，请求出符合条件t的值．【思路点拨】（1）如图1中，过点E作EJ∥PQ，证明∠≝¿α+∠BAC，可得结论；（2）如图2中，根据（1）可证∠EHB=∠PEH+∠MBH．利用角平分线的定义求出∠PEH，∠MBH，可得结论；（3）分9种情形∶当AC∥DF时，当AC∥DE时，当AC∥EF时，当BC∥DF时，当BC∥ED时，当BC∥EF时，当AB∥DF时，当AB∥ED时，当AB∥EF时，分别讨论求出∠MBA的度数，可得结论．【解题过程】（1）解∶如图1中，过点E作EJ∥PQ，更多资料添加微信号：DEM2008淘宝搜索店铺：优尖升教育网址：shop492842749.taobao.com更多资料添加微信号：DEM2008淘宝搜索店铺：优尖升教育网址：shop492842749.taobao.com PQ∥MN，PQ∥EJ，∴EJ∥MN，∴∠α=∠DEJ，∠JEA=∠BAC=45°，∴∠≝¿α+∠BAC， ∠DEF=60°，∴α=60°−45°=15°， ∠DFE=30°，β+∠DFE=180°，∴β=180°−30°=150°，故答案为∶45，150；（2）解：如图2中，利用（1）可证∠EHB=∠PEH+∠MBH． PQ∥MN，∴∠QEA=∠BAC=45°，∴∠AEP=180°-45°=135°， ∠CBA=45°，∴∠CBM=180°-45°=135*， HE，HB分别平分∠AEP，∠CBM，∴∠PEH=12∠PEA=67.5°，∠MBH=12∠FBM=67.5°，∴∠EHB=∠PEH+∠MBH=135°；（3）解：①当AC∥DF时，如图1，更多资料添加微信号：DEM2008淘宝搜索店铺：优尖升教育网址：shop492842749.taobao.com更多资料添加微信号：DEM2008淘宝搜索店铺：优尖升教育网址：shop492842749.taobao.com易得此时BC∥ED， AC∥DF，易知E，F，A三点共线，∠DFE=∠FAC=30°，∴∠FAB=∠BAC-∠FAC=45-30°=15°，∠BAM=∠FAM-∠FAB=45°-15°=30°，即15t=30，解得t=2；②当AC∥DE时，如图2，易得此时BC∥DF．过点A作AH∥BC，则AH∥BC∥DF，∴∠EAB=∠EAH+∠BAH=∠EFD+∠ABC=30°+45°=75°，∴∠MAB=∠MAE+∠EAB=45°+75°=120°．∴15t=120，∴t=8，③当AC∥EF时，情况不存在；④当BC∥DF时，同②；⑤当BC∥ED时，同①；⑥当BC∥EF时，如图3，更多资料添加微信号：DEM2008淘宝搜索店铺：优尖升教育网址：shop492842749.taobao.com更多资料添加微信号：DEM2008淘宝搜索店铺：优尖升教育网址：shop492842749.taobao.com此∠MAB=90°，即15t=90，解得t=6；⑦当AB∥DF时，如图4， AB∥DF∴∠BAF=∠DFE=30°，∴∠MAB=∠MAF+∠BAF=45°+30°=75°，即15t=75，解得t=5；⑧当AB∥ED时， AB∥ED，∴∠FAB=180°-∠DEF=180°-60°=120°，∴∠MAB=∠MAF+∠FAB=120°+45°=165°，∴15t=165，解得t=11；⑨当AB∥EF时，此情况不存在．综上所述，t的值为2或5或6或8或11．更多资料添加微信号：DEM2008淘宝搜索店铺：优尖升教育网址：shop492842749.taobao.com更多资料添加微信号：DEM2008淘宝搜索店铺：优尖升教育网址：shop492842749.taobao.com1．（2022春·湖北武汉·七年级统考期末）直线AB∥CE，BE—EC是一条折线段，BP平分∠ABE．（1）如图1，若BP∥CE，求证：∠BEC+∠DCE=180°；（2）CQ平分∠DCE，直线BP，CQ交于点F．①如图2，写出∠BEC和∠BFC的数量关系，并证明；②当点E在直线AB，CD之间时，若∠BEC=40°，直接写出∠BFC的大小．【思路点拨】（1）延长DC交BE于K，交BP于T，由AB∥CD，BP平分∠ABE，可得∠BTK=∠TBK，又BP∥CE，故∠KCE=∠KEC，即可得∠BEC+∠DCE=180°；（2）①延长AB交FQ于M，延长DC交BE于N，设∠ABP=∠EBP=α，∠DCQ=∠ECQ=β，可得∠F=180°-∠FBM-∠FMB=180°-（α+β），∠E=180°-∠NCE-∠CNE=180°-（180°-2β）-（18...