小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com第二十四章圆专题16垂径定理重难点题型专训（八大题型）【题型目录】题型一利用垂径定理求值题型二利用垂径定理求平行弦问题题型三利用垂径定理求同心圆问题题型四利用垂径定理求解其他问题题型五垂径定理的推论题型六垂径定理的实际应用题型七利用弧、弦、圆心角的关系求解题型八利用弧、弦、圆心角的关系求证【知识梳理】知识点一、圆的对称性（1）对称中心圆既是中心对称图形，又是轴对称图形和旋转对称图形。将圆周绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心。将圆周绕圆心旋转任意一个角度都能与自身重合，这说明圆是旋转对称图形。1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。3.将整个圆分为等份，每一份的弧对应的圆心角，我们也称这样的弧为的弧。圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．（2）对称轴经过圆心画任意一条直线，并沿此直线将圆对折，直线两旁的部分能够完全重合，所以圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，所以圆有无数条对称轴。（3）垂径定理1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；几何语言：小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com垂径定理的几个基本图形：垂径定理在基本图形中的应用：2．其它正确结论：⑴弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；⑵平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．⑶圆的两条平行弦所夹的弧相等．3．知二推三：①直径或半径；②垂直弦；③平分弦；④平分劣弧；⑤平分优弧．以上五个条件知二推三．注意：在由①③推②④⑤时，要注意平分的弦非直径．4．常见辅助线做法：⑴过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度；⑵有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．知识点二、确定圆的条件1．过已知点作圆条件类别过一点作圆过两点作圆过不在同一条直线上的三点作圆理论依据经过平面内一个点作圆时，只要以点以外任意一点为圆心，以这点到点经过平面内的两个点，作圆，由于圆心到这两个点的距离相等，所以圆经过不在同一条直线上的三点，，作圆，圆心到这三个点的距离相小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com的距离为半径就能作出一个圆，这样的圆能作出无数多个心在线段的垂直平分线上，这样的圆心有无数多个，这样的圆能作无数多个等。因此，圆心是线段，的垂直平分线的交点，以点为圆心，以（或，）为半径可作出经过，，三点的圆，这样的圆只有一个圆形ACOB结论不在同一条直线上的三个点确定一个圆2．定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”．3．三角形的外接圆⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．⑵三角形外心的性质：①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.图3图2图1OCBAOCBAOCBA【经典例题一利用垂径定理求值】1．（2023·陕西渭南·统考一模）如图，是的外接圆，过点作于点，于点，连接，若，则的长为（）ABO1O2O3AO3O2O1小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comA．3B．4C．1D．2【答案】D【分析】根据，，由垂...