小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专项18利用垂径定理求线段长度考点1垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧.符号语言： CD为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，且CDAB⊥，垂足为E，∴AE＝BE,推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. CD为⊙O的直径，AB为⊙O的弦（不是直径），且AE＝BE.弦心距：圆心到弦的距离（垂线段OE）常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度；2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分考点2垂径定理的应用经常为未知数，结合方程于勾股定理解答【典例1】（2021九上·温州期末）如图，在⊙O中，半径OCAB⊥于点D.已知OC=5，OD=4，则弦AB的长为()A．3B．4C．5D．6【答案】D【解答】解： OCAB⊥，∴AD=DB，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com OC=OB=5，OD=4∴在RtODB△中，由勾股定理得：BD=❑√OB2−OD2=❑√52−42=3∴AB=2BD=2×3=6.故答案为：D.【变式1-1】（2021九上·平谷期末）如图，AB为⊙O的直径，弦CDAB，垂足为点E，若⊙O的半径为5，CD=8，则AE的长为（）A．3B．2C．1D．❑√3【答案】B【解答】解：连接OC，如图 AB为⊙O的直径，CDAB，垂足为点E，CD=8，∴CE=12CD=12×8=4， AO=CO=5，∴OE=❑√CO2−CE2=❑√52−42=3，∴AE=5−3=2；故答案为：B．【变式1-2】（2022九上·东阳期末）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（）cm小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comA．1B．3C．3或4D．1或7【答案】D【解答】解：分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面CD，作ONAB⊥与CD、AB的交点为M、N由题意知OM⊥CD，CM=MD=12CD=4cm，AN=BN=12AB=3cm在Rt△BON中，由勾股定理得ON=❑√OB2−BN2=4cm在Rt△DOM中，由勾股定理得OM=❑√OD2−DM2=3cm∴MN=ON−OM=1cm②如图2，宽度为8cm的油面EF，作PNEF⊥与AB、EF的交点为N、P，连接OB由题意知PN⊥AB，EP=PF=12EF=4cm，AN=BN=12AB=3cm在Rt△BON中，由勾股定理得ON=❑√OB2−BN2=4cm小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com在Rt△EPO中，由勾股定理得OP=❑√OE2−EP2=3cm∴NP=ON+OP=7cm∴油面AB上升到CD，上升了1cm，油面AB上升到EF，上升了7cm；故答案为：D.【变式1-3】（2021九上·东营月考）如图，将一个半径为2cm的圆形卡片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（）A．2cmB．❑√3cmC．2❑√3cmD．2❑√5cm【答案】C【解答】解：如图，连接OA，连接点O关于AB的对称点E，交AB于点D，由折叠得OD=DE=12OE=1cm，OD⊥AB，∴AD=BD=12AB，在Rt△AOD中，OD2+AD2=OA2，∴AD=❑√OA2−OD2=❑√22−12=❑√3cm，∴AB=2AD=2❑√3cm，故答案为：C．【典例2】（2021九上·上高月考）《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深1寸，锯道AB=1尺（1尺=10寸），则该圆小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com材的直径为寸.【答案】26【解答】如图，设⊙O的半径为r，过O作ODAB⊥于D，延长OD与⊙O交于E，连接AO，在RtAOD△中，AD=12AB=5寸，OD=OE−DE=r−1，OA=r，由勾股定理可得AD2+OD2=AO2，即52+(r−1)2=r2，解得r=13，∴该圆材的直径为26寸，故答案为26【变式2-1】（2021九上·五常期末）如图，某小区的一个圆形管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，现在量得污水水面宽度为80cm，水面到管道顶部的距离为20cm，则修理工人应准备的新管道的内直径是cm．【答案】100【解答】解：如图所示，作管道圆心O，管道顶部为A点，污水水面为BD，连接小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comAO，AO与BD垂直相交于点C．设AO=OB=r则OC=r-20，BC=12BD=40有OB2=OC2+BC2r2=(r−20)2+402化简得r=50故新管道直径为10...