小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专项20切线的证明方法归类（2大类型+5种方法）证明一条直线是圆的切线的方法及辅助线的作法（1）连半径、证垂直：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”（2）作垂直，证半径：当直线和圆的公共点没有明确时，可以过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”【考点1有公共点：连半径，证垂直】方法1：特殊角计算法证垂直【典例1】（2022•思明区校级一模）如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O交⊙O于点C，∠A＝∠B＝30°，连接BD．求证：BD是⊙O的切线．【解答】如图，连接OD， OD＝OA，∴∠ODA＝∠DAB＝30°，∴∠DOB＝∠ODA+∠DAB＝60°，∴∠ODB＝180°﹣∠DOB﹣∠B＝180°60°30°﹣﹣＝90°，即OD⊥BD，∴直线BD与⊙O相切．【变式1-1】（2021•广东二模）如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，连接BD，∠DAB＝∠B＝30°，求证：直线BD是⊙O的切线．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【解答】证明：连接OD， OA＝OD，∠DAB＝∠B＝30°，∴∠ODA＝∠DAB＝∠B＝30°，又∠BOD为△AOD的外角，∴∠BOD＝∠DAB+∠ODA＝60°，∴∠ODB＝180°﹣∠BOD﹣∠B＝180°60°30°﹣﹣＝90°，即OD⊥BD， OD是⊙O的半径．∴直线BD是⊙O的切线．【变式1-2】（2021秋•潍坊期末）如图，A、B、C分别是⊙O上的点，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，CD＝2，E是CD延长线上的一点，且AE＝AC．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）求ED的长．【解答】（1）证明：连接OA． ∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°，又 OA＝OC，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴∠ACE＝∠CAO＝30°，∴∠AOE＝∠ACO+∠CAO＝30°+30°＝60°， AE＝AC，∴∠E＝∠ACE＝30°，∴∠OAE＝90°，∴OA⊥AE，又 OA是半径∴AE是⊙O的切线；方法2：等角代换法证垂直【典例2】（2020秋•福州期末）如图，AB是⊙O的直径，C为半圆O上一点，直线l经过点C，过点A作AD⊥l于点D，连接AC，当AC平分∠DAB时，求证：直线l是⊙O的切线．【解答】证明：连接OC， AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC，又 OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠DAC＝∠OCA，又 l⊥AD，即∠ADC＝90°，∴∠DAC+∠DCA＝90°，∴∠OCA+∠DCA＝90°，即∠OCD＝90°，∴OC⊥l，∴l是圆O的切线．【变式2-1】（2017秋•荆州区期末）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC的中点，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com以AC为直径的⊙O交AB于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE：EB＝1：2，BC＝6，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OE、EC， AC是⊙O的直径，∴∠AEC＝∠BEC＝90°， D为BC的中点，∴ED＝DC＝BD，∴∠1＝∠2， OE＝OC，∴∠3＝∠4，∴∠1+3∠＝∠2+4∠，即∠OED＝∠ACB， ∠ACB＝90°，∴∠OED＝90°，∴DE是⊙O的切线；【变式2-2】（2021秋•灌南县期末）已知：如图，AB是⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点，ED与AB的延长线交于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠F＝30°，BF＝2，求△ABC外接圆的半径．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【解答】（1）证明：连接OD， AB⊥AC，∴∠CAB＝90°，∴∠CAD+∠DAO＝90°， AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝90°， 点E是AC的中点，∴EA＝ED＝AC，∴∠EAD＝∠EDA， OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠EDA+∠ODA＝90°，∴∠ODE＝90°， OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com方法3：平行线性质法证垂直【典例3】（2021秋•吉林期末）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D．求证：PD是⊙O的切线；【解答】（1）证明： AB＝AC，∴∠B＝∠C， OP＝OB，∴∠B＝∠OPB，∴∠OPB＝∠C，∴OP∥AC， PD⊥AC，∴OP⊥PD，∴PD...