小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题18旋转模型之费马点型1．若一个三角形的最大内角小于120°，则在其内部有一点所对三角形三边的张角均为120°，此时该点叫做这个三角形的费马点．如图1，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时，的值最小．(1)如图2，等边三角形ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，小林利用“转化”思想，将△ABP绕顶点A旋转到处，连接，此时，这样就可以通过旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出______．(2)如图3，在图1的基础上延长BP，在射线BP上取点D，E，连接AE，AD．使，，求证：．(3)如图4，在直角三角形ABC中，，，，点P为直角三角形ABC的费马点，连接AP，BP，CP，请直接写出的值．【答案】(1)150°(2)见解析(3)小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【分析】（1）由全等三角形的性质得到AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4，∠AP′C＝∠APB，再根据旋转性质，证明△APP′为等边三角形，△PP′C为直角三角形，最后由∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P＋∠PP′C解答；（2）由费马点的性质得到，，再证明(ASA)，由全等三角形对应边相等的性质解得，最后根据线段的和差解答；（3）将△APB绕点B顺时针旋转60°至△A′P′B处，连接PP′，由勾股定理解得，由旋转的性质，可证明△BPP′是等边三角形，再证明C、P、A′、P′四点共线，最后由勾股定理解答．（1）解： ，∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4，∠AP′C＝∠APB，由题意知旋转角∠PAP′＝60°，∴△APP′为等边三角形，PP′＝AP＝3，∠AP′P＝60°，由旋转的性质可得：AP′＝AP＝PP′=3，CP′＝4，PC=5， 32+42=52∴△PP′C为直角三角形，且∠PP′C＝90°，∴∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P＋∠PP′C＝60°＋90°＝150°；故答案为：150°；（2）证明： 点P为△ABC的费马点，∴，∴，又 ，∴APD为等边三角形∴，，∴，∴，在△APC和△ADE中，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴(ASA)；∴， ，∴BE＝PA＋PB＋PC；（3）解：如图，将△APB绕点B顺时针旋转60°至△A′P′B处，连接PP′， 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，∴AB＝2，∴，把△APB绕点B顺时针方向旋转60°得到△A′P′B，∴∠A′BC＝∠ABC＋60°＝30°＋60°＝90°， ∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2， △APB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′P′B，∴A′B＝AB＝2，BP＝BP′，A′P′＝AP，∴△BPP′是等边三角形，∴BP＝PP′，∠BPP′＝∠BP′P＝60°， ∠APC＝∠CPB＝∠BPA＝120°，∴∠CPB＋∠BPP′＝∠BP′A′＋∠BP′P＝120°＋60°＝180°，∴C、P、A′、P′四点共线，在Rt△A′BC中，，∴PA＋PB＋PC＝A′P′＋PP′＋PC＝A′C＝．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质、费马点等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识，正确做出辅助线是解题关键．2．如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据“两点之间线段最短”，当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长．【详解】解：如图， 将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG，∴△BFG是等边三角形．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴BF=BG=FG，．∴AG+BG+CG=FE+GF+CG．根据“两点之间线段最短”，∴当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长，过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF=180°-120°=60°， BC=4，∴BF=2，EF=2，在Rt△EFC中， EF2+FC2=EC2，∴EC=4． ∠CBE=120°，∴∠BEF=30°， ∠EBF=∠ABG=30°，∴EF=BF=FG，∴EF=CE=，故选：D．【点睛】本题考查了旋转...