人教九年级数学上册 专题18 旋转模型之费马点型(解析版).docx本文件免费下载 【共39页】

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小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题18旋转模型之费马点型1.若一个三角形的最大内角小于120°,则在其内部有一点所对三角形三边的张角均为120°,此时该点叫做这个三角形的费马点.如图1,当△ABC三个内角均小于120°时,费马点P在△ABC内部,此时,的值最小.(1)如图2,等边三角形ABC内有一点P,若点P到顶点A,B,C的距离分别为3,4,5,求的度数.为了解决本题,小林利用“转化”思想,将△ABP绕顶点A旋转到处,连接,此时,这样就可以通过旋转变换,将三条线段PA,PB,PC转化到一个三角形中,从而求出______.(2)如图3,在图1的基础上延长BP,在射线BP上取点D,E,连接AE,AD.使,,求证:.(3)如图4,在直角三角形ABC中,,,,点P为直角三角形ABC的费马点,连接AP,BP,CP,请直接写出的值.【答案】(1)150°(2)见解析(3)小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【分析】(1)由全等三角形的性质得到AP′=AP=3、CP′=BP=4,∠AP′C=∠APB,再根据旋转性质,证明△APP′为等边三角形,△PP′C为直角三角形,最后由∠APB=∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C解答;(2)由费马点的性质得到,,再证明(ASA),由全等三角形对应边相等的性质解得,最后根据线段的和差解答;(3)将△APB绕点B顺时针旋转60°至△A′P′B处,连接PP′,由勾股定理解得,由旋转的性质,可证明△BPP′是等边三角形,再证明C、P、A′、P′四点共线,最后由勾股定理解答.(1)解: ,∴AP′=AP=3、CP′=BP=4,∠AP′C=∠APB,由题意知旋转角∠PAP′=60°,∴△APP′为等边三角形,PP′=AP=3,∠AP′P=60°,由旋转的性质可得:AP′=AP=PP′=3,CP′=4,PC=5, 32+42=52∴△PP′C为直角三角形,且∠PP′C=90°,∴∠APB=∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C=60°+90°=150°;故答案为:150°;(2)证明: 点P为△ABC的费马点,∴,∴,又 ,∴APD为等边三角形∴,,∴,∴,在△APC和△ADE中,小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴(ASA);∴, ,∴BE=PA+PB+PC;(3)解:如图,将△APB绕点B顺时针旋转60°至△A′P′B处,连接PP′, 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,∠ABC=30°,∴AB=2,∴,把△APB绕点B顺时针方向旋转60°得到△A′P′B,∴∠A′BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°, ∠C=90°,AC=1,∠ABC=30°,∴AB=2AC=2, △APB绕点B顺时针方向旋转60°,得到△A′P′B,∴A′B=AB=2,BP=BP′,A′P′=AP,∴△BPP′是等边三角形,∴BP=PP′,∠BPP′=∠BP′P=60°, ∠APC=∠CPB=∠BPA=120°,∴∠CPB+∠BPP′=∠BP′A′+∠BP′P=120°+60°=180°,∴C、P、A′、P′四点共线,在Rt△A′BC中,,∴PA+PB+PC=A′P′+PP′+PC=A′C=.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质、费马点等知识,是重要考点,有难度,掌握相关知识,正确做出辅助线是解题关键.2.如图,四边形ABCD是菱形,AB=4,且∠ABC=∠ABE=60°,G为对角线BD(不含B点)上任意一点,将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF,当AG+BG+CG取最小值时EF的长()A.B.C.D.【答案】D【分析】根据“两点之间线段最短”,当G点位于BD与CE的交点处时,AG+BG+CG的值最小,即等于EC的长.【详解】解:如图, 将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF,∴BE=AB=BC,BF=BG,EF=AG,∴△BFG是等边三角形.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴BF=BG=FG,.∴AG+BG+CG=FE+GF+CG.根据“两点之间线段最短”,∴当G点位于BD与CE的交点处时,AG+BG+CG的值最小,即等于EC的长,过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F,∴∠EBF=180°-120°=60°, BC=4,∴BF=2,EF=2,在Rt△EFC中, EF2+FC2=EC2,∴EC=4. ∠CBE=120°,∴∠BEF=30°, ∠EBF=∠ABG=30°,∴EF=BF=FG,∴EF=CE=,故选:D.【点睛】本题考查了旋转...

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