小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题11勾股定理与构造图形解决问题【例题讲解】在学习利用旋转解决图形问题时，老师提出如下问题：（1）如图1，点是正方形内一点，，，，你能求出的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将绕点逆时针旋转，得到，连接，可求出的度数；思路二：将绕点顺时针旋转，得到，连接，可求出的度数；请参照小明的思路，任选一种写出完整的解答过程；（2）如图2，若点是等边三角形内一点，若，则线段，，满足怎样的等量关系？请参考小明上述解决问题的方法进行探究，直接写出线段，，满足的等量关系．解：（1）思路一：如图1，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△，连接，则∴，根据勾股定理得，， AP=1，∴，∴是直角三角形，且，∴．思路二：将△PAB绕点B顺时针旋转90°，得到，连接，∴∴,小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com ∴∴，∴∴；（2），理由如下：如图，由等边可得：把绕点顺时针旋转得到则为等边三角形，【综合解答】1．如图，点是等边三角形内一点，且，，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】将△BCP绕B逆时针旋转60°，点C和A重合，P到P′，连接PP′，得出等边三角形PBP′，求出∠BPP′=60°，推出直角三角形APP′，求出∠APP′，即可求出；【详解】解：将绕逆时针旋转，点和重合，到，连接， ，，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴是等边三角形， ， ，，，∴，∴，∴．故选：D．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，掌握等边三角形的性质，勾股定理，旋转的性质是解题的关键.2．如图，，，，点、为边上的两点，且，连接、，则下列结论：①；②是等腰直角三角形；③；④，其中正确的有（）A．①③B．①②③C．①③④D．①②③④【答案】C【解析】【分析】根据SAS得△AEDAEF△≌，证明△ABFACD≌△，得出BF＝CD；由△AEDAEF≌△，得到DE＝EF；证明∠EBF＝90°，即可解决问题．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【详解】解： ∠DAF=90°，∠DAE=45°，∴∠FAE=45°=DAE∠，在△AED与△AEF中，AE=AE，∠EAF=EAD∠，AD=AF，∴△AEDAEF≌△（SAS），故①正确； ∠BAC=DAF=90°∠，∴∠BAF=DAC∠；在△ABF与△ACD中，AB=AC，∠FAB=DAC∠，AF=AD，∴△ABFACD≌△（SAS），∴BF=CD；∠ABF=ACD=45°∠， ∠EBF＝∠ABC+ABF=90°∠，D,E点在BC边上位置不固定，故不能得到BE=CD,所以是直角三角形，②错误； △AEDAEF≌△，∴DE＝EF；∴BE2＋BF2＝EF2，即BE2＋DC2＝DE2，③正确；连接FD， ∠FBD=90°，∠DAF=90°，∴BF2＋BD2＝FD2，AF2＋AD2＝FD2，∴BF2＋BD2＝AF2＋AD2，又 BF=DC，AD=AF∴，故④正确；∴正确的有：①③④故答案为：C．【点睛】小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com该题主要考查了全等三角形的判定及性质、勾股定理、相似三角形的判定；证明三角形全等是解决问题的关键．3．如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转60°得到线段，连接．若，，，则四边形的面积为___________．【答案】6+4【解析】【分析】连结PP′，如图，由等边三角形的性质得到∠BAC=60°，AB=AC，由旋转的性质得到CP=CP′=4，∠PCP′=60°，得到△PCP′为等边三角形，求得PP′=PC=4，根据全等三角形的性质得到AP′=PB=5，根据勾股定理的逆定理得到△APP′为直角三角形，∠APP′=90°，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】连结PP′，如图， △ABC为等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC， 线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CP'，∴CP=CP′=4，∠PCP′=60°，∴△PCP′为等边三角形，∴PP′=PC=4，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com ∠ACP+BCP=60°∠，∠ACP+ACP′=60°∠，∴∠BCP=ACP′∠，且AC=BC，CP=CP′∴△BCPACP′≌△（SAS），∴AP′=PB=5，在△APP′中， PP′2=42=16，AP2=32=9，AP′2=52=25，∴PP′2+AP2=AP′2...