人教八年级数学上册 专题03 半角模型(解析版).docx本文件免费下载 【共17页】

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小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com题专03半角模型【模型说明】应用:①利用旋转构造全等三角形;②利用翻折构造全等三角形。【例题精讲】例1.(三角形中的半角模型)问题情境在等边△ABC的两边AB,AC上分别有两点M,N,点D为△ABC外一点,且∠MDN=60°,∠BDC=120°,BD=DC.特例探究如图1,当DM=DN时,(1)∠MDB=度;(2)MN与BM,NC之间的数量关系为;归纳证明(3)如图2,当DM≠DN时,在NC的延长线上取点E,使CE=BM,连接DE,猜想MN与BM,NC之间的数量关系,并加以证明.拓展应用(4)△AMN的周长与△ABC的周长的比为.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【答案】(1)30;(2)MN=BM+NC;(3)MN=BM+NC,证明见解析;(4)【详解】特例探究:解:(1) DM=DN,∠MDN=60°,∴△MDN是等边三角形,∴MN=DM=DN, ∠BDC=120°,BD=DC,∴∠DBC=∠DCB=30°, △ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,∴∠DBM=∠DCN=90°, BD=CD,DM=DN,∴Rt△DBM≌Rt△DCN(HL),∴∠MDB=∠NDC=30°,故答案为:30;(2)由(1)得:DM=2BM,DM=MN,Rt△DBM≌Rt△DCN(HL),∴BM=CN,∴DM=MN=2BM=BM+NC,即MN=BM+NC;归纳证明(3)解:猜想:MN=BM+NC,证明如下: △ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°, BD=CD,∠BDC=120°,∴∠DBC=∠DCB=30°,∴∠MBD=∠NCD=90°.∴∠MBD=∠ECD=90°,又 BD=CD,BM=CE,∴△DBM≌△DCE(SAS),∴DM=DE,∠MDB=∠EDC, ∠MDN=60°,∠BDC=120°,∴∠MDB+∠NDC=60°,∴∠EDN=∠NDC+∠EDC=∠MDB+∠NDC=60°,∴∠EDN=∠MDN,又 DN=DN,∴△MDN≌△EDN(SAS),∴MN=EN=EC+NC=BM+NC;拓展应用(4)解:由(1)(2)得:MN=BM+NC,∴△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+BM+NC+AN=AB+AC=2AB, △ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC,∴△ABC的周长=3AB,∴△AMN的周长与△ABC的周长的比为=,小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com故答案为:.例2.(四边形中的半角模型)问题背景:如图1,在四边形ABCD中,,,E、F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=60°,探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明,再证明,可得出结论,他的结论应是______.实际应用:如图2,在新修的小区中,有块四边形绿化ABCD,四周修有步行小径,且AB=AD,∠B+∠D=180°,在小径BC,CD上各修一凉亭E,F,在凉亭E与F之间有一池塘,不能直接到达,经测量得,BE=10米,DF=15米,试求两凉亭之间的距离EF.【答案】问题背景:EF=BE+FD;实际应用:两凉亭之间的距离EF为25米【详解】解:问题背景: ∠ADC=90°,∠ADC+∠ADG=180°,∴∠ADG=90°,在△ABE和△ADG中,,∴△ABE≌△ADG(SAS),∴AE=AG,∠BAE=∠DAG, ∠EAF=60°,∠BAD=120°,∴∠BAE+DAF=120°-60°=60°,∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=60°=∠EAF,小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com在△AEF和△AGF中,,∴△AEF≌△AGF(SAS),∴EF=FG, FG=DG+DF=BE+DF,∴EF=BE+DF,故答案为:EF=BE+DF;实际应用:如图2,延长CD至H,使DH=BE,连接AH, ∠B+∠ADC=180°,∠ADH+∠ADC=180°,∴∠ADH=∠B,在△ADH和△ABE中,,∴△ADH≌△ABE(SAS),∴AE=AH,∠BAE=∠DAH, ∠EAF=∠BAD,∴∠HAF=∠DAH+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF,在△AEF和△AHF中,,∴△AEF≌△AGF(SAS),∴EF=FH, FH=DH+DF=BE+DF,∴EF=BE+DF, BE=10米,DF=15米,∴EF=10+15=25(米).例3.(培优综合)如图1所示,已知点在上,和都是等腰直角三角形,点为的中点.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(1)求证:为等腰直角三角形;(2)将绕点逆时针旋转,如图2所示,(1)中的“为等腰直角三角形是否仍然成立?请说明理由;”(3)将绕点逆时针旋转一定的角度,如图3所示,(1)中的...

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