小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com题专03半角模型【模型说明】应用：①利用旋转构造全等三角形；②利用翻折构造全等三角形。【例题精讲】例1．（三角形中的半角模型）问题情境在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．特例探究如图1，当DM＝DN时，（1）∠MDB＝度；（2）MN与BM，NC之间的数量关系为；归纳证明（3）如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE＝BM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间的数量关系，并加以证明．拓展应用（4）△AMN的周长与△ABC的周长的比为．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【答案】（1）30；（2）MN＝BM+NC；（3）MN＝BM+NC，证明见解析；（4）【详解】特例探究：解：（1） DM＝DN，∠MDN＝60°，∴△MDN是等边三角形，∴MN＝DM＝DN， ∠BDC＝120°，BD＝DC，∴∠DBC＝∠DCB＝30°， △ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠DBM＝∠DCN＝90°， BD＝CD，DM＝DN，∴Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），∴∠MDB＝∠NDC＝30°，故答案为：30；（2）由（1）得：DM＝2BM，DM＝MN，Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），∴BM＝CN，∴DM＝MN＝2BM＝BM+NC，即MN＝BM+NC；归纳证明（3）解：猜想：MN＝BM+NC，证明如下： △ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°， BD＝CD，∠BDC＝120°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∴∠MBD＝∠NCD＝90°．∴∠MBD＝∠ECD＝90°，又 BD＝CD，BM＝CE，∴△DBM≌△DCE（SAS），∴DM＝DE，∠MDB＝∠EDC， ∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，∴∠MDB+∠NDC＝60°，∴∠EDN＝∠NDC+∠EDC＝∠MDB+∠NDC＝60°，∴∠EDN＝∠MDN，又 DN＝DN，∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN＝EN＝EC+NC＝BM+NC；拓展应用（4）解：由（1）（2）得：MN＝BM+NC，∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AM+BM+NC+AN＝AB+AC＝2AB， △ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC的周长＝3AB，∴△AMN的周长与△ABC的周长的比为＝，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com故答案为：．例2．（四边形中的半角模型）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，，，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______．实际应用：如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化ABCD，四周修有步行小径，且AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，在小径BC，CD上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有一池塘，不能直接到达，经测量得，BE＝10米，DF＝15米，试求两凉亭之间的距离EF．【答案】问题背景：EF＝BE＋FD；实际应用：两凉亭之间的距离EF为25米【详解】解：问题背景： ∠ADC=90°，∠ADC+∠ADG=180°，∴∠ADG=90°，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG， ∠EAF=60°，∠BAD=120°，∴∠BAE+DAF=120°-60°=60°，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=60°=∠EAF，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG， FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF，故答案为：EF=BE+DF；实际应用：如图2，延长CD至H，使DH=BE，连接AH， ∠B+∠ADC=180°，∠ADH+∠ADC=180°，∴∠ADH=∠B，在△ADH和△ABE中，，∴△ADH≌△ABE（SAS），∴AE=AH，∠BAE=∠DAH， ∠EAF=∠BAD，∴∠HAF=∠DAH+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，在△AEF和△AHF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FH， FH=DH+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF， BE=10米，DF=15米，∴EF=10+15=25（米）．例3．（培优综合）如图1所示，已知点在上，和都是等腰直角三角形，点为的中点.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（1）求证：为等腰直角三角形；（2）将绕点逆时针旋转，如图2所示，（1）中的“为等腰直角三角形是否仍然成立？请说明理由；”（3）将绕点逆时针旋转一定的角度，如图3所示，（1）中的...