小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com题专04模型倍长中线【模型说明】【例题精讲】例1．（基本模型）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则点A到直线CD的距离是_____．【答案】4【详解】 DC⊥BC，∴∠BCD=， ∠ACB=，∴∠ACD=，如图，延长CD到H使DH=CD， D为AB的中点，∴AD=BD，在ΔADH与ΔBCD中，，∴ΔADH≅ΔBCD(SAS)，∴AH=BC=4，∠AHD=∠BCD=90°，∴点A到CD的距离为4，故答案为：4．例2．（综合应用）（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comCE．①证明△ABD≌△ECD；②若AB＝5，AC＝3，设AD＝x，可得x的取值范围是_______；（2）如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE＋CF＞EF．【答案】（1）①见解析；②1＜x＜4；（2）见解析【详解】（1）① AD是△ABC的中线，∴CD＝BD，在△ABD与△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS）②1＜x＜4，理由如下： △ABD≌△ECD，AB＝5，∴AB＝EC=5， ED=AD，AD＝x，∴AE=2x．由△ACE三边关系得：，又 AC＝3，∴，解得：1＜x＜4．故答案是：1＜x＜4．（2）延长FD到G，使得DG＝DF，连接BG、EG．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com D是BC边上的中点，∴CD＝DB．在△CDF与△BDG中，，∴△CDF≌△BDG（SAS）．∴CF＝BG， DE⊥DF，∴．在△EDF与△EDG中，，∴△EDF≌△EDG．∴EF＝EG．在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．例3．（培优应用）已知中，（1）如图1，点E为的中点，连并延长到点F，使，则与的数量关系是________．（2）如图2，若，点E为边一点，过点C作的垂线交的延长线于点D，连接，若，求证：．（3）如图3，点D在内部，且满足，，点M在的延长线上，连交的延长线于点N，若点N为的中点，求证：．【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析【详解】证明：（1）小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com由题意可得：在和中∴∴（2）过点A引交于点F，如下图：由题意可得：，且则又 ∴平分，∴∴在和中∴∴在和中∴∴（3）证明：过点作交的延长线于点，，在上取一点，使得，连接，如下图：小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com ，∴ ，，∴，∴， ，∴ ，∴∴，∴ ，∴ ，∴ ，∴又 ，∴，∴∴，∴，∴ ，∴【变式训练1】如图，中，，E是的中点，求证：．【答案】见解析【详解】证明：延长到F，使，连结， E是中点，∴，∴在和中，，∴（），小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴，， ，∴，又 ，，∴，在和中，，∴（），∴．【变式训练2】如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC边上中线BD取值范围．（1）小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，可证得△CED≌△ABD．①请证明△CED≌△ABD；②中线BD的取值范围是．（2）问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝∠NBC＝∠90°，连接MN．请写出BD与MN的数量关系，并说明理由．【答案】（1）①见解析；②；（3）MN=2BD，理由见解析【详解】解：（1）① BD是三角形ABC的中线，∴AD=CD，又 ∠ABD=∠CDE，BD=ED，∴△CED≌△ABD（SAS）；② △CED≌△ABD，∴AB=CE， ，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴即，又 ，∴；故答案为：；（2）MN=2BD，理由如下：如图所示，延长BD到E使得DE=BD，同（1）原理可证△ADE≌△CDB（SAS），∴∠DAE=∠DCB，AE=CB， BC=BN，∴AE=BN， ∠ABM=∠NBC=90°，∴∠MBN+∠ABC=360°-∠ABM-∠NBC=180°， ∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠BAC+∠DAE=180°，∴∠BAE+∠ABC=180°，∴∠BAE=∠MBN，又 AB=BM，∴△BAE≌△MBN（SAS），∴MN=BE， BE=BD+ED=2BD，∴MN=2BD．【课后作业】1．如图，已知AD是...