小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com全等变化模型四三垂直模型【模型展示】【模型图解】【模型条件】【模型结论】图1∠B=∠C=∠AED,AB=ECBC=AB+DC图2∠ABC=∠C=∠AFD,AB=BCAB=CD+EC图3∠ABC=∠ABE=∠AHD,AB=BC,BC=AD+BE图4∠ABC=∠C=∠AED,AB=BCAB=DE+DC图5∠ABC=∠D=∠AED,AB=BCAE=ED+DC图6∠ABC=∠E=∠BDC,AB=BCCD=DE+AE【结论证明】请选取图1、图3、图5分别证明小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【模型解析】从变化方式的角度分析，两个全等的直角三角形绕平面上一点旋转而得；从图形的结构分析，除一组对应边相等外，只需两直角三角形一组非对应角互余即可得全等。【知识链接】同角的余角相等、边的数量关系（等量代换）【模型总结】①三垂直模型中有很多边的数量关系，如图解表中所示；②三垂直模型对应边的夹角相等，一般为90°（图4除外）；③三垂直模型易形成等腰直角三角形，解题时要灵活运用。【模型巩固】【例4-1】如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD＝2.5cm，BE＝1cm，求DE的长．【解答】解： AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC＝∠E＝90°，∴∠ACD+∠CAD＝90°， ∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∴∠BCE＝∠CAD，在△BCE和△CAD中，，∴△BCE≌△CAD（AAS），∴CD＝BE＝1（cm），CE＝AD＝2.5（cm），∴DE＝＝2.51﹣＝1.5（cm）．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【例4-2】如图所示，直线MN一侧有一个等腰Rt△ABC，其中∠ACB＝90°，CA＝CB．直线MN过顶点C，分别过点A，B作AE⊥MN，BF⊥MN，垂足分别为点E，F，∠CAB的角平分线AG交BC于点O，交MN于点G，连接BG，恰好满足AG⊥BG．延长AC，BG交于点D．（1）求证：CE＝BF；（2）求证：AC+CO＝AB．【解答】证明：（1） AE⊥MN，BF⊥MN，又 ∠ACB＝90°，∴∠EAC+∠ECA＝∠FCB+∠ECA＝90°．∴∠EAC＝∠FCB．在△AEC和△CFB中，，∴△AEC≌△CFB（AAS），∴CE＝BF；（2） ∠ACB＝90°，AG⊥BG，∴∠CAO＝∠CBD．在△ACO和△BCD中，，∴△ACO≌△BCD（ASA），∴CO＝CD．∴AC+CO＝AC+CD＝AD． AG平分∠CAB，AG⊥BG，∴∠D＝∠ABD．∴AD＝AB．综上，AC+CO＝AB．【例4-3】如图①，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°．（1）求证：AB+CD＝BC．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com如图②，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝45°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°．（2）求证：点P是BC的中点.【解答】证明：（1） ∠B＝∠APD＝90°，∴∠BAP+∠APB＝90°，∠APB+∠DPC＝90°，∴∠BAP＝∠DPC，又PA＝PD，∠B＝∠C＝90°，∴△BAP≌△CPD（AAS），∴BP＝CD，AB＝PC，∴BC＝BP+PC＝AB+CD；（2）如图2，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，由（1）可知，EF＝AE+DF， ∠B＝∠C＝45°，AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠B＝∠BAE＝45°，∠C＝∠CDF＝45°，∴BE＝AE，CF＝DF，∴BC＝BE+EF+CF＝2（BE+EP）=BP，∴点P是BC的中点.【例4-4】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，M是AB的中点，点D在BM上，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EM．（1）求证：CE＝BF；（2）求证：∠AEM＝∠DEM．【解答】证明： ∠ACB＝90°，∴∠BCF+∠ACE＝90°， ∠BCF+∠CBF＝90°，∴∠ACE＝∠CBF，在△BCF和△CAE中，∴△BCF≌△CAE（AAS），∴BF＝CE，（2）连接FM，CM，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com △BCF≌△CAE，∴AE＝CF，BF＝CE，∴AE﹣CE＝CF﹣CE＝EF， 点M是AB中点，∴CM＝AB＝BM＝AM，CM⊥AB，在△BDF和△CDM中，∠BFD＝∠CMD，∠BDF＝∠CDM，∴∠DBF＝∠DCM，在△BFM和△CEM中，，∴△BFM≌△CEM（SAS），∴FM＝EM，∠BMF＝∠CME， ∠BMC＝90°，∴∠EMF＝90°，即△EMF为等腰直角三角形，∴∠MEF＝∠MFE＝45°， ∠AEC＝90°，∴∠MED＝∠AEM＝45°．【例4-5】已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．（1）如图1，求证：DE＝AD+BE；...