小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com全等变化模型五十字模型【模型展示】【正方形十字全等】如图1，正方形ABCD中，MN⊥EF，求证：MN=EF【等边十字全等】如图2，等边ABC中，∠AFE=60°，求证：AD=BE【模型解析】从变化方式的角度分析，十字模型是由三垂直和三等角模型通过平移得到的.【知识链接】同角的余角相等，三角形的外角定理【模型总结】①如图1，正方形中两条垂直的线段相等，两条相等的线段垂直；②如图2，等边三角形中两条相等的线段夹角等于60°；【模型巩固】【例5-1】（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，若AE⊥DH于点O，求证：AE＝DH；（2）如图2，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由．证明：证明：小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAH．∴∠HAO+∠OAD＝90°．∵AE⊥DH，∴∠ADO+∠OAD＝90°．∴∠HAO＝∠ADO．在△ABE和△DAH中，∴△ABE≌△DAH（ASA），∴AE＝DH；（2）解：EF＝GH．理由：如图所示：将FE平移到AM处，则AM∥EF，AM＝EF．将GH平移到DN处，则DN∥GH，DN＝GH．∵EF⊥GH，∴AM⊥DN，根据（1）的结论得AM＝DN，所以EF＝GH．【例5-2】如图．已知△ABC中．∠BAC＝90°．∠BCA＝45°，D为线段AC上任一点，连接BD，过C点作CE∥AB且AD＝CE．试说明BD和AE之间的关系，并证明．【解答】解：BD＝AE，AE⊥BD；理由如下：∵AB∥CE，∠BAC＝90°，∴∠ACE＝90°，在△ABD和△CAE中，∴△ABD≌△CAE（SAS），小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴BD＝AE，∠ABD＝∠CAE．∴∠ABD+∠EAB＝∠CAE+∠EAB＝90°∴AE⊥BD∴BD＝AE，AE⊥BD；【例5-3】如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且BD＝CE，AD与BE相交于点P．下列结论：①AE＝CD；②AP＝BE；③∠PAE＝∠ABE；④∠APB＝120°，其中正确的结论是_____________（填序号）【解答】解：①因为AC＝BC，BD＝CE，所以AE＝CD．故①正确，②∵△ABC是等边三角形，∴∠ABD＝∠C＝60°，AB＝BC．在△ABD与△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS）；∴AD＝BE．故②错误；③由②知△ABD≌△BCE，所以∠DAB＝∠CBE，则∠PAE＝∠ABE，故③正确；④∵由②知△ABD≌△BCE．∴∠BAD＝∠EBC，∴∠BAD+∠ABP＝∠ABD＝60°．∵∠APE是△ABP的外角，∴∠APE＝∠BAD+∠ABP＝60°，∴∠APB＝120°，故④正确．【模型巩固】【拓展5-1】如图，在等边三角形ABC的AC，BC边上各取一点P，Q，使AP＝CQ，连接AQ，BP相交于点O．（1）写出图中所有的全等三角形，并选择其中一对加以证明；（2）求∠BOQ的度数；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（3）连接OC，若OC⊥BP，求的值．【解答】解：（1）△ABP≌△ACQ，△ABQ≌△BCP证明△ABP≌△ACQ∵△ABC是等边三角形∴∠BAP＝∠ACQ＝∠ABQ，AB＝AC＝BC∵在△ABP和△ACQ中∴△ABP≌△ACQ（SAS）（2）∵△ABP≌△ACQ∴∠ABP＝∠CAQ，∠BAQ+∠CAQ＝60°∴∠BAQ+∠ABP＝60°∵∠BOQ＝∠BAQ+ABP∴∠BOQ＝60°．（3）如图所示，过点B作BD⊥AQ交AQ于点D由（1）知△ABQ≌△BCP（SAS）∴∠BAD＝∠OBC∴在△ABD和△BCO中∴△ABD≌△BCO（AAS）∴AD＝BO在Rt△BOD中，∠BOD＝60°，∠OBD＝30°∴BO＝2OD∴AD＝2OD小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴点O为AD的中点∴＝∴＝．【拓展5-2】如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是AC的中点，AF⊥BD于点E，交BC于点F，连接DF．求证：∠ADB＝∠CDF．【解答】证明：如图，作AG平分∠BAC，交BD于点G∵∠BAC＝90°，AE⊥BD，∴∠DAE+∠ADB＝∠ABE+∠ADB＝90°，∴∠ABG＝∠CAF，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC，∠C＝∠BAG＝45°，∴∴△BAG≌△CAF，（ASA）∴AG＝CF，又∵AD＝CD，∠GAD＝∠C＝45°，∴△AGD≌△DFC，（SAS）∴∠ADB＝∠CDF．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com