小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com全等变化模型一8字全等模型【模型展示】【模型条件】如图，直线l1∥l2，ON=OM【模型结论】△ABO≃△CDO，△BMO≃△DNO，△BMO≃△DNO△MEO≃△NHO，△EFO≃△HGO.【模型解析】从变化方式的角度分析，8字全等模型可以看成是两个全等三角形绕三角形的一个顶点旋转180°而得；从图形的结构分析，8字全等模型是由两条平行线和平行线间的中点组成的.【知识链接】三线八角，对顶角相等【模型总结】①当两条平行线间出现中点时，一般都会形成全等；②在运用和求证线段中点时，可以尝试构造8字全等来解决。③倍长中线是8字全等最常见的运用，在三角形中线问题经常采用此方法处理。.【模型巩固】【例1-1】如图，是的中线，，，求中线的取值范围．【解答】解：如图所示，延长到，使，连接，是的中线，，在和中，，，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com，在中，有，即，．【例1-2】如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AM⊥BC于点M，点D在AM上，且DM＝CM，F是BC的中点，连接FD并延长，在FD的延长线上有一点E，连接CE，且CE＝CA，∠BDF＝36°，求∠E的度数．【分析】先证明△AMC≌△BMD，延长EF到点G，使得FG＝EF，连接BG．再证△BFG≌△CFE可得BG＝CE，∠G＝∠E，从而得BD＝BG＝CE，即可得∠BDG＝∠G＝∠CEF．【解答】解： ∠ABM＝45°，AM⊥BM，∴∠BMD＝∠AMC，BM＝AM，在△BMD和△AMC中，，∴△BMD≌△AMC（SAS），如图，延长EF到点G，使得FG＝EF，连接BG． △BMD≌△AMC∴BD＝AC，又 CE＝AC，∴BD＝CE，在△BFG和△CFE中，，∴△BFG≌△CFE（SAS），∴BG＝CE，∠G＝∠CEF，∴BD＝CE＝BG，∴∠BDF＝∠G＝∠CEF．∴∠BDF＝∠CEF，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴∠E＝36°．【例1-3】如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，AB+CD＝AC．（1）求证：CO平分∠ACD；（2）求证：AO平分∠BAC，OA⊥OC．【解答】证明：（1）延长AO交CD的延长线于E． ∠D＝∠ABD＝90°，∴∠CDB+∠ABD＝90°，∴AB∥CE，∴∠BAO＝∠E，在△ABO和△EDO中，，∴△ABO≌△EDO，∴AO＝OE，AB＝DE， AC＝AB+CD，CE＝CD+DE＝CD+AB，∴CA＝CE， OA＝OE，∴OC平分∠ACD．（2） CA＝CE，∴∠CAE＝∠E，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com ∠E＝∠BAE，∴∠CAO＝∠OAB，∴OA平分∠CAB， CA＝CE，OA＝OE，∴CO⊥AO．【例1-4】如图，等边三角形ABC中，E是线段AC上一点，F是BC延长线上一点．连接BE，AF．点G是线段BE的中点，BN∥AC，BN与AG延长线交于点N．（1）若∠BAN＝15°，求∠N；（2）若AE＝CF，求证：2AG＝AF．【解答】解：（1） △ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°， AC∥BN，∴∠NBC＝∠ACB＝60°，∴∠ABN＝∠ABC+∠NBC＝120°，∴在△ABN中，∠N＝180°﹣∠ABN﹣∠BAN＝180°120°15°﹣﹣＝45°；（2） AC∥BN，∴∠N＝∠GAE，∠NBG＝∠AEG，又 点G是线段BE的中点，∴BG＝EG，∴△NBG≌△AEG（AAS），∴AG＝NG，AE＝BN， AE＝CF，∴BN＝CF， ∠ACB＝60°，∴∠ACF＝180°﹣∠ACB＝120°，∴∠ABN＝∠ACF，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com又 AB＝AC，∴△ABN≌△ACF（SAS），∴AF＝AN， AG＝NG＝AN，∴AF＝2AG．【例1-5】如图，在等边三角形中，点为边上一动点（点不与、重合），延长至点，使，连接交于点，于点．①求证：；②探究与的数量关系，并证明．【解答】（1）证明：过点作，交于点，如图所示：在等边中，，，，，，是等边三角形，，，，在和中，，，；（2）解：．理由如下：是等边三角形，且，，，，，，．【模型拓展】【拓展1-1】（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com若AB＝13，AC＝9，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE，容易证...