小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题15半角模型证全等1．【问题背景】如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是EF＝BE+DF．【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．【学以致用】如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠EBF＝45°，直接写出△DEF的周长．【解答】（1）解：如图1，在△ABE和△ADG中， ，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG， ∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com ，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG， FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；故答案为：EF＝BE+DF．（2）解：结论EF＝BE+DF仍然成立；理由：如图2，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，在△ABE和△ADG中， ，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG， ∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中， ，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG， FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；（3）解：如图3，延长DC到点G，截取CG＝AE，连接BG，在△AEB与△CGB中，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com ，∴△AEB≌△CGB（SAS），∴BE＝BG，∠ABE＝∠CBG． ∠EBF＝45°，∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CBF＝45°，∴∠CBF+∠CBG＝45°．在△EBF与△GBF中， ，∴△EBF≌△GBF（SAS），∴EF＝GF，∴△DEF的周长＝EF+ED+DF＝AE+CF+DE+DF＝AD+CD＝5+5＝10．2．已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comB点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E、F．（1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），求证：AE+CF＝EF．（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2种情况下，求证：AE+CF＝EF．（3）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图3种情况下上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．【解答】（1）证明： AB⊥AD，BC⊥CD，∴∠A＝∠C在△ABE与△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴∠ABE＝∠CBF，BE＝BF， ∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∴∠ABE＝∠CBF＝30°，∴AE＝，CF＝， ∠MBN＝60°，BE＝BF，∴△BEF为等边三角形，∴BE＝BF＝EF，∴AE＝CF＝，∴AE+CF＝EF；（2）证明：如图，将Rt△ABE顺时针旋转120°，得△BCG，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴BE＝BG，AE＝CG，∠A＝∠BCG， AB＝BC，∠ABC＝120°，∴点A与点C重合， ∠A＝∠BCF＝90°，∴∠BCG+∠BCF＝180°，∴点G、C、F三点共线， ∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠ABE＝∠CBG，∴∠GBF＝60°，在△GBF与△EBF中，，∴△GBF≌△EBF（SAS），∴FG＝EF，∴EF＝AE+CF；（3）解：不成立，EF＝AE﹣CF，理由如下：如图，将Rt△ABE顺时针旋转120°，得△BCG，∴AE＝CG，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com由（2）同理得，点C、F、G三点共线， AB＝BC，∠ABC＝120°，∴点A与点C重合，∠ABE＝∠CBG，∴BG＝BE， ∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝120°，∴∠CBG+∠CBE＝∠GBE＝120°， ∠MBN＝60°，∴∠GBF＝60°，在△BFG与△BFE中，，∴△BFG≌△BFE（SAS），∴GF＝EF，∴EF＝AE﹣CF．3．（1）阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，这样...