小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题20共定点等边三角形的六大结论及应用六大结论基本模型：如图，△ABC和△CDE是共顶点（C）三角形，则有以下六大结论.结论1：△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE结论2：∠AOB=60°结论3：△ACP≌△BCQ（ASA），∴AP=BQ，PC=QC结论4：△PCQ是等边三角形结论5：∴结论6：点C在∠AOE的平分线上1．如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接，以下七个结论：①；②；③；④；⑤；⑥是等边三角形；⑦点在的平分线上，其中正确的有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】D【解析】【分析】由△ABC和△CDE是正三角形，其性质得三边相等，三个角为60°，平角的定义和角的和差得∠ACD=∠BCE，边角边证明△ACD≌△BCE，其性质得结论①正确；由△ACD≌△BCE，可得∠CAP=∠CBQ，可得故⑤正确，角边角证明△ACP≌△BCQ得AP=BQ，其结论③正确；等边三角形的判定得△PCQ是等边三角形，结论⑥正确；∠CPQ=∠ACB=60°判定两线，结论②正确；反证法证明命题DE≠DP，结论④错误；利用全等三角形的对应高相等，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com可证明点C在∠AOE的平分线上，结论⑦正确；即正确结论共6个．【详解】解：如图1所示： △ABC和△CDE是正三角形，∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=60°，又 ∠ACD=∠ACB+∠BCD，∠BCE=∠DCE+∠BCD，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∴结论①正确； △ACD≌△BCE，∴∠CAP=∠CBQ，故⑤正确，又 ∠ACB+∠BCD+∠DCE=180°，∴∠BCD=60°，在△ACP和△BCQ中，，∴△ACP≌△BCQ（ASA），∴AP=BQ，PC=QC，故③正确，∴△PCQ是等边三角形，故⑥正确∴∠CPQ=∠CQP=60°，∴∠CPQ=∠ACB=60°，∴，故②正确，若DE=DP，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com DC=DE，∴DP=DC，∴∠PCD=∠DPC，又 ∠PCD=60°，∴∠DPC=60°与△PCQ是等边三角形相矛盾，假设不成立，∴结论④错误；过点C分别作CM⊥AD，CN⊥BE于点M、N两点，如图2所示： CM⊥AD，CN⊥BE，∴CM=CN，又 OC在∠AOE的内部，∴点C在∠AOE的平分线上，∴结论⑦正确；综合所述共有6个结论正确．故选：D．【点睛】本题综合考查了全等三角的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，平行线的判定，角平分线性质定理的逆定理和假设法证明命题等相关知识，重点掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，难点是用角平分线性质定理的逆定理作辅助线证明一点已知角的角平分线上．2．已知如图是锐角三角形，分别以边AB、AC为边向外作和，和均为等边三角形，且BE和CD交于点F，连接AF．（1）求证：；（2）求出的度数；（3）求证：．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析．【解析】【分析】（1）由和均为等边三角形，可得边角关系，由SAS即可证明；（2）由可得点A、F、C、E四点共圆，再由圆的性质即可求解；（3）由点A、F、C、E四点共圆，可得，再由内角和为可得，由点A、F、B、D四点共圆，同理可得，从而可得，故可得．【详解】解：（1） 和均为等边三角形，∴，，，∴，即，∴在三角形和中，∴；（2） ，∴，∴点A、F、C、E四点共圆，∴， 均为等边三角形，∴，∴；（3）由（2）点A、F、C、E四点共圆，点A、F、B、D四点共圆，∴，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com在中，，∴，即， ，∴，同理可得， ，，∴，∴，，∴，∴．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，四点共圆的性质，三角形内角和定理，等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握各知识点，利用好数形结合的思想．3．已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．(1)求∠DOE的度数；(2)试判断△MNC的形状，并说明理由；(3)连接OC，求证：OC是∠AOE的平分线．【答案】(1)∠DOE的度数是60...