小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专项09平行+线段中点构造全等模型综合应用【结论】如图，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点O为EF中点，则△POE≌△QOF口诀：有中点，有平行，轻轻延长就能行【典例1】（1）方法回顾证明：三角形中位线定理．已知：如图1，DE是△ABC的中位线．求证：．证明：（2）问题解决：如图2，在正方形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG＝3，DF＝4，∠GEF＝90°，求GF的长．【解答】（1）已知：如图1，DE是△ABC的中位线．求证：DE∥BC，DE＝BC，证明：过点C作CF∥BA交DE的延长线于点F，∴∠A＝∠ACF，∠F＝∠ADF，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com 点E是AC的中点，∴AE＝EC，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴DE＝EF＝DF，AD＝CF， 点D是AB的中点，∴AD＝DB，∴DB＝CF，∴四边形DBCF是平行四边形，∴DF∥BC，DF＝BC，∴DE∥BC，DE＝BC，故答案为：DE∥BC，DE＝BC；（2）延长GE，CD交于点H， 四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠A＝∠ADH，∠AGE＝∠H， 点E是AD的中点，∴AE＝DE，∴△AGE≌△DHE（AAS），∴AG＝DH＝3，GE＝EH， DF＝4，∴FH＝DH+DF＝7， ∠GEF＝90°，∴FE是GH的垂直平分线，∴GF＝FH＝7，∴GF的长为7．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【变式1-1】已知：AD是△ABC的角平分线，点E为直线BC上一点，BD＝DE，过点E作EF∥AB交直线AC于点F，当点F在边AC的延长线上时，如图①易证AF+EF＝AB；当点F在边AC上，如图②；当点F在边AC的延长线上，AD是△ABC的外角平分线时，如图③．写出AF、EF与AB的数量关系，并对图②进行证明．【解答】（1）证明：如图①，延长AD、EF交于点G， AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD， EF∥AB，∴∠G＝∠BAD，∴∠G＝∠CAD，∴FG＝AF，在△ABD和△GED中，，∴△ABD≌△GED（AAS），小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴AB＝GE， GE＝FG+EF＝AF+EF，∴AF+EF＝AB；（2）结论：AF﹣EF＝AB．证明：如图②，延长AD、EF交于点G， AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD， EF∥AB，∴∠G＝∠BAD，∴∠G＝∠CAD，∴FG＝AF，在△ABD和△GED中，，∴△ABD≌△GED（AAS），∴AB＝GE， GE＝FG﹣EF＝AF﹣EF，∴AF﹣EF＝AB；（3）结论：EF﹣AF＝AB．证明：如图③，延长AD交EF于点G， AD平分∠PAC，∴∠PAD＝∠CAD， EF∥AB，∴∠AGF＝∠PAD，∴∠AGF＝∠CAD，∠ABD＝∠GED，∴FG＝AF，在△ABD和△GED中，，∴△ABD≌△GED（ASA），小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴AB＝GE， EF﹣FG＝GE，∴EF﹣AF＝AB；【变式1-2】如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且OA⊥OC．（1）求证：CO平分∠ACD；（2）求证：AB+CD＝AC．【解答】解：（1）如图，延长AO交CD的延长线于点E， O为BD的中点，∴BO＝DO，在△AOB与△EOD中，∴△AOB≌△EOD，（ASA）∴AO＝AE，又 OA⊥OC，∴AC＝CE∴CO平分∠ACD；（三线合一）（2）由△AOB≌△EOD可得AB＝DE∴AB+CD＝CD+DE＝CE AC＝CE∴AB+CD＝AC小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点M在BC边上，且∠MDF＝∠ADF．（1）求证：△ADE≌△BFE．（2）连接EM，如果FM＝DM，判断EM与DF的关系，并说明理由．【解答】（1）证明： AD∥BC，∴∠ADE＝∠BFE， E为AB的中点，∴AE＝BE，在△AED和△BFE中，，∴△AED≌△BFE（AAS）；（2）解：EM与DM的关系是EM垂直且平分DF；理由如下：连接EM，如图所示：由（1）得：△AED≌△BFE，∴DE＝EF， ∠MDF＝∠ADF，∠ADE＝∠BFE，∴∠MDF＝∠BFE，∴FM＝DM，∴EM⊥DF，∴ME垂直平分DF．2．△ABC中，P是BC边上的一点，过P作直线交AB于M，交AC的延长线于N，且PM＝PN，MF∥AN，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（1）求证：△PMF≌△PNC；（2）若AB＝AC，求证：BM＝CN．...