人教八年级数学上册 专项09 平行+线段中点构造全等模型综合应用(解析版).docx本文件免费下载 【共15页】

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小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专项09平行+线段中点构造全等模型综合应用【结论】如图,AB∥CD,点E、F分别在直线AB、CD上,点O为EF中点,则△POE≌△QOF口诀:有中点,有平行,轻轻延长就能行【典例1】(1)方法回顾证明:三角形中位线定理.已知:如图1,DE是△ABC的中位线.求证:.证明:(2)问题解决:如图2,在正方形ABCD中,E为AD的中点,G、F分别为AB、CD边上的点,若AG=3,DF=4,∠GEF=90°,求GF的长.【解答】(1)已知:如图1,DE是△ABC的中位线.求证:DE∥BC,DE=BC,证明:过点C作CF∥BA交DE的延长线于点F,∴∠A=∠ACF,∠F=∠ADF,小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com 点E是AC的中点,∴AE=EC,∴△ADE≌△CFE(AAS),∴DE=EF=DF,AD=CF, 点D是AB的中点,∴AD=DB,∴DB=CF,∴四边形DBCF是平行四边形,∴DF∥BC,DF=BC,∴DE∥BC,DE=BC,故答案为:DE∥BC,DE=BC;(2)延长GE,CD交于点H, 四边形ABCD是正方形,∴AB∥CD,∴∠A=∠ADH,∠AGE=∠H, 点E是AD的中点,∴AE=DE,∴△AGE≌△DHE(AAS),∴AG=DH=3,GE=EH, DF=4,∴FH=DH+DF=7, ∠GEF=90°,∴FE是GH的垂直平分线,∴GF=FH=7,∴GF的长为7.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【变式1-1】已知:AD是△ABC的角平分线,点E为直线BC上一点,BD=DE,过点E作EF∥AB交直线AC于点F,当点F在边AC的延长线上时,如图①易证AF+EF=AB;当点F在边AC上,如图②;当点F在边AC的延长线上,AD是△ABC的外角平分线时,如图③.写出AF、EF与AB的数量关系,并对图②进行证明.【解答】(1)证明:如图①,延长AD、EF交于点G, AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD, EF∥AB,∴∠G=∠BAD,∴∠G=∠CAD,∴FG=AF,在△ABD和△GED中,,∴△ABD≌△GED(AAS),小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴AB=GE, GE=FG+EF=AF+EF,∴AF+EF=AB;(2)结论:AF﹣EF=AB.证明:如图②,延长AD、EF交于点G, AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD, EF∥AB,∴∠G=∠BAD,∴∠G=∠CAD,∴FG=AF,在△ABD和△GED中,,∴△ABD≌△GED(AAS),∴AB=GE, GE=FG﹣EF=AF﹣EF,∴AF﹣EF=AB;(3)结论:EF﹣AF=AB.证明:如图③,延长AD交EF于点G, AD平分∠PAC,∴∠PAD=∠CAD, EF∥AB,∴∠AGF=∠PAD,∴∠AGF=∠CAD,∠ABD=∠GED,∴FG=AF,在△ABD和△GED中,,∴△ABD≌△GED(ASA),小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴AB=GE, EF﹣FG=GE,∴EF﹣AF=AB;【变式1-2】如图,四边形ABDC中,∠D=∠ABD=90°,点O为BD的中点,且OA⊥OC.(1)求证:CO平分∠ACD;(2)求证:AB+CD=AC.【解答】解:(1)如图,延长AO交CD的延长线于点E, O为BD的中点,∴BO=DO,在△AOB与△EOD中,∴△AOB≌△EOD,(ASA)∴AO=AE,又 OA⊥OC,∴AC=CE∴CO平分∠ACD;(三线合一)(2)由△AOB≌△EOD可得AB=DE∴AB+CD=CD+DE=CE AC=CE∴AB+CD=AC小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com1.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,连接DE并延长交CB的延长线于点F,点M在BC边上,且∠MDF=∠ADF.(1)求证:△ADE≌△BFE.(2)连接EM,如果FM=DM,判断EM与DF的关系,并说明理由.【解答】(1)证明: AD∥BC,∴∠ADE=∠BFE, E为AB的中点,∴AE=BE,在△AED和△BFE中,,∴△AED≌△BFE(AAS);(2)解:EM与DM的关系是EM垂直且平分DF;理由如下:连接EM,如图所示:由(1)得:△AED≌△BFE,∴DE=EF, ∠MDF=∠ADF,∠ADE=∠BFE,∴∠MDF=∠BFE,∴FM=DM,∴EM⊥DF,∴ME垂直平分DF.2.△ABC中,P是BC边上的一点,过P作直线交AB于M,交AC的延长线于N,且PM=PN,MF∥AN,小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(1)求证:△PMF≌△PNC;(2)若AB=AC,求证:BM=CN....

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