小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专项10用倍长中线法构造全等三角形综合应用△ABC中,AD是BC边中线方式1：直接倍长延长AD到E，使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长（1）作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E（2）延长MD到N，使DN=MD，连接CN倍长中线法原理：延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。此法常用于构造全等三角形，利用中线的性质、辅助线、对顶角一般用“SAS”证明对应边之间的关系。（在一定范围中）【典例1】（2021春•吉安县期末）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：DABCEDABCFEDCBANDCBAM延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。此法常用于构造全等三角形，利用中线的性质、辅助线、对顶角一般用“SAS”证明对应边之间的关系。（在一定范围中）小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSSB．SASC．AASD．HL（2）求得AD的取值范围是．A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．【解答】（1）解： 在△ADC和△EDB中，∴△ADC≌△EDB（SAS），故选B；（2）解： 由（1）知：△ADC≌△EDB，∴BE＝AC＝6，AE＝2AD， 在△ABE中，AB＝8，由三角形三边关系定理得：86﹣＜2AD＜8+6，∴1＜AD＜7，故选C．（3）证明：延长AD到M，使AD＝DM，连接BM， AD是△ABC中线，∴BD＝DC， 在△ADC和△MDB中小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com，∴△ADC≌△MDB（SAS），∴BM＝AC，∠CAD＝∠M， AE＝EF，∴∠CAD＝∠AFE， ∠AFE＝∠BFD，∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，∴BF＝BM＝AC，即AC＝BF．【变式1-1】（2021秋•肥西县期末）一个三角形的两边长分别为5和9，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（）A．x＞5B．x＜7C．4＜x＜14D．2＜x＜7【答案】D【解答】解：如图，AB＝5，AC＝9，AD为BC边的中线，延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，CE， AD＝x，∴AE＝2x，在△BDE与△CDA中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴BE＝AC＝9，在△ABE中，AB+BE＞AE，BE﹣AB＜AE，即5+9＞2x，95﹣＜2x，∴2＜x＜7，故选：D．【变式1-2】（2019秋•贵港期中）如图，AE是△ABD的中线AB＝CD＝BD．求证：AB+AD＞2AE；【解答】证明：（1）延长AE到M，使AE＝EM，连接DM， AE为△ABD的中线，∴BE＝DE，在△AEB和△MED中∴△AEB≌△MED（SAS），∴AB＝DM，在△AMD中，AD+DM＞AM，即AB+AD＞2AE；【变式1-3】（2021秋•齐河县期末）（1）方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；（3）问题拓展：小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．【解答】解：（1）1＜AD＜5． AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC＝4，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴64﹣＜AE＜6+4，∴2＜AE＜10，∴1＜AD＜5．证明：（2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，如图②...