人教八年级数学上册 专项12 角平分线+垂直构造全等模型综合应用(解析版).docx本文件免费下载 【共19页】

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小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专项12角平分线+垂直构造全等模型综合应用角平分线+垂直构造全等模型:【典例1】(秋•袁州区校级期中)如图,∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动,两直角边分别与OA,OB交于点C和D,证明:PC=PD.【答案】略【解答】证明:过点P点作PE⊥OA于E,PF⊥OB于F,如图,∴∠PEC=∠PFD=90°, OM是∠AOB的平分线,∴PE=PF, ∠AOB=90°,∠CPD=90°,∴∠PCE+∠PDO=360°90°90°﹣﹣=180°,秘籍:往角两边作垂线解读:用角平分线上的点往角两边作垂线,这是常用的辅助线,可以利用边角边构造全等小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com而∠PDO+∠PDF=180°,∴∠PCE=∠PDF,在△PCE和△PDF中,∴△PCE≌△PDF(AAS),∴PC=PD.【变式1-1】(秋•江北区期末)如图,D是∠EAF平分线上的一点,若∠ACD+∠ABD=180°,请说明CD=DB的理由.【答案】略【解答】解:过点D分别作AE,AF的垂线,交AE于M,交AF于N则∠CMD=∠BND=90°, AD是∠EAF的平分线,∴DM=DN, ∠ACD+∠ABD=180°,∠ACD+∠MCD=180°,∴∠MCD=∠NBD,在△CDM和△BDN中,∠CMD=∠BND=90°,∠MCD=∠NBD,DM=DN,∴△CDM≌△BDN,小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴CD=DB.【变式1-2】(秋•百色期末)如图,△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.(1)说明BE=CF的理由;(2)如果AB=5,AC=3,求AE、BE的长.【答案】(1)略(2)BE=1,AE=4.【解答】(1)证明:连接BD,CD, AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF,∠BED=∠CFD=90°, DG⊥BC且平分BC,∴BD=CD,在Rt△BED与Rt△CFD中,,∴Rt△BEDRt≌△CFD(HL),∴BE=CF;(2)解:在△AED和△AFD中,,∴△AED≌△AFD(AAS),∴AE=AF,小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com设BE=x,则CF=x, AB=5,AC=3,AE=AB﹣BE,AF=AC+CF,∴5﹣x=3+x,解得:x=1,∴BE=1,AE=AB﹣BE=51﹣=4.【典例2】(2021秋•江岸区期末)如图,∠B=∠C=90°,点E是BC的中点,DE平分∠ADC.(1)求证:AE是∠DAB的平分线;(2)若∠DAB=60°,求证:AB=3CD.【解答】(1)证明:过点E作EF⊥AD于点F,则∠EFD=∠EFA=90°, DE平分∠ADC,∴EC=EF, 点E是BC的中点,∴CE=EB,∴EF=EB,在Rt△EAB和Rt△EAF中,,∴Rt△EABRt≌△EAF(HL),∴∠EAF=∠EAB,∴AE是∠DAB的平分线.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(2)证明: ∠DAB=60°,∠EAF=∠EAB,∴∠DAE=∠EAB=30°, ∠C=∠B=90°,∴AB∥CD,∴∠ADC+∠DAB=180°,∴∠ADC=120°, DE平分∠ADC,∴∠ADE=∠CDE=60°,∴∠DEC=30°,∠DEA=90°,∴DE=2CD,AD=2DE,∴AD=4CD,在△DEF和△DEC中,,∴△DEF≌△DEC(AAS),∴DF=DC,∴AF=AD﹣DF=4CD﹣CD=3CD, Rt△EABRt≌△EAF,∴AF=AB,∴AB=3CD.【变式2-1】(2021秋•江汉区校级月考)如图,在四边形ABCD中,CE⊥AB,已知CB=CD,AC平分∠BAD;求证:(1)∠B+∠ADC=180°;小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(2)AD+AB=2AE.【解答】证明:(1)如图,过C作CF⊥AD,交AD的延长线于F点, AC平分∠BAD,∴∠DAC=∠BAC=∠DAB. CE⊥AB,CF⊥AD,∴CE=CF, CB=CD,∠CEB=∠CFD=90°,∴Rt△CEBRt≌△CFD(HL),∴∠B=∠CDF,EB=DF. ∠CDF+∠ADC=180°,∴∠B+∠ADC=180°.(2) ∠CAF=∠CAE,∠F=∠CEA=90°,AC=AC,∴△AFC≌△AEC(AAS).∴AF=AE. AF=AD+DF,EB=DF,∴AF=AD+EB. AE=AB﹣EB,∴AF+AE=AD+AB,∴AD+AB=2AE.【变式2-2】(2021秋•长沙期末)如图,射线AD平分∠CAB,点F是AD上一点,FG垂直平分BC于点G,FH⊥AB于点H,连接FC,若AB=10,BH=2,求AC.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合...

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