小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专项12角平分线+垂直构造全等模型综合应用角平分线＋垂直构造全等模型：【典例1】（秋•袁州区校级期中）如图，∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C和D，证明：PC＝PD．【答案】略【解答】证明：过点P点作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，如图，∴∠PEC＝∠PFD＝90°， OM是∠AOB的平分线，∴PE＝PF， ∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，∴∠PCE+∠PDO＝360°90°90°﹣﹣＝180°，秘籍：往角两边作垂线解读：用角平分线上的点往角两边作垂线，这是常用的辅助线，可以利用边角边构造全等小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com而∠PDO+∠PDF＝180°，∴∠PCE＝∠PDF，在△PCE和△PDF中，∴△PCE≌△PDF（AAS），∴PC＝PD．【变式1-1】（秋•江北区期末）如图，D是∠EAF平分线上的一点，若∠ACD+∠ABD＝180°，请说明CD＝DB的理由．【答案】略【解答】解：过点D分别作AE，AF的垂线，交AE于M，交AF于N则∠CMD＝∠BND＝90°， AD是∠EAF的平分线，∴DM＝DN， ∠ACD+∠ABD＝180°，∠ACD+∠MCD＝180°，∴∠MCD＝∠NBD，在△CDM和△BDN中，∠CMD＝∠BND＝90°，∠MCD＝∠NBD，DM＝DN，∴△CDM≌△BDN，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴CD＝DB．【变式1-2】（秋•百色期末）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）说明BE＝CF的理由；（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．【答案】（1）略（2）BE＝1，AE＝4．【解答】（1）证明：连接BD，CD， AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°， DG⊥BC且平分BC，∴BD＝CD，在Rt△BED与Rt△CFD中，，∴Rt△BEDRt≌△CFD（HL），∴BE＝CF；（2）解：在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE＝AF，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com设BE＝x，则CF＝x， AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，∴5﹣x＝3+x，解得：x＝1，∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝51﹣＝4．【典例2】（2021秋•江岸区期末）如图，∠B＝∠C＝90°，点E是BC的中点，DE平分∠ADC．（1）求证：AE是∠DAB的平分线；（2）若∠DAB＝60°，求证：AB＝3CD．【解答】（1）证明：过点E作EF⊥AD于点F，则∠EFD＝∠EFA＝90°， DE平分∠ADC，∴EC＝EF， 点E是BC的中点，∴CE＝EB，∴EF＝EB，在Rt△EAB和Rt△EAF中，，∴Rt△EABRt≌△EAF（HL），∴∠EAF＝∠EAB，∴AE是∠DAB的平分线．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（2）证明： ∠DAB＝60°，∠EAF＝∠EAB，∴∠DAE＝∠EAB＝30°， ∠C＝∠B＝90°，∴AB∥CD，∴∠ADC+∠DAB＝180°，∴∠ADC＝120°， DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝60°，∴∠DEC＝30°，∠DEA＝90°，∴DE＝2CD，AD＝2DE，∴AD＝4CD，在△DEF和△DEC中，，∴△DEF≌△DEC（AAS），∴DF＝DC，∴AF＝AD﹣DF＝4CD﹣CD＝3CD， Rt△EABRt≌△EAF，∴AF＝AB，∴AB＝3CD．【变式2-1】（2021秋•江汉区校级月考）如图，在四边形ABCD中，CE⊥AB，已知CB＝CD，AC平分∠BAD；求证：（1）∠B+∠ADC＝180°；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（2）AD+AB＝2AE．【解答】证明：（1）如图，过C作CF⊥AD，交AD的延长线于F点， AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠BAC＝∠DAB． CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF， CB＝CD，∠CEB＝∠CFD＝90°，∴Rt△CEBRt≌△CFD（HL），∴∠B＝∠CDF，EB＝DF． ∠CDF+∠ADC＝180°，∴∠B+∠ADC＝180°．（2） ∠CAF＝∠CAE，∠F＝∠CEA＝90°，AC＝AC，∴△AFC≌△AEC（AAS）．∴AF＝AE． AF＝AD+DF，EB＝DF，∴AF＝AD+EB． AE＝AB﹣EB，∴AF+AE＝AD+AB，∴AD+AB＝2AE．【变式2-2】（2021秋•长沙期末）如图，射线AD平分∠CAB，点F是AD上一点，FG垂直平分BC于点G，FH⊥AB于点H，连接FC，若AB＝10，BH＝2，求AC．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合...