小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专项13与尺规作图有关的计算和证明的综合应用垂直平分线作图步骤：1.分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点；2.作直线CD，CD为所求直线垂直平分线的性质：【典例1】（2021秋•邓州市期末）在△AMN中，∠MAN＞90°，AM的垂直平分线交MN于B，交AM于E，AN的垂直平分线交MN于C，交AN于F．（1）若AM＝AN，∠MAN＝120°，则△ABC的形状是；（2）去掉（1）中的“∠MAN＝120°”的条件，其他不变，判断△ABC的形状，并证明你的结论；（3）当∠M与∠N满足怎样的数量关系时，△ABC是等腰三角形？直接写出所有可能的情况．垂直平分线上的点到两边的距离相等小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【解答】解：（1）等边三角形，理由： AM＝AN，∠MAN＝120°，∴∠M＝∠N＝30°， BE是线段AM的垂直平分线，∴AB＝BM，∴∠MAB＝∠M＝30°，∴∠ABC＝∠M+∠MAB＝60°，同理，CA＝NC，∴∠NAC＝∠N＝30°，∴∠ACM＝∠N+∠NAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，故答案为：等边三角形；（2）△ABC是等腰三角形，理由： AM＝AN，∴∠M＝∠N， ∠MAB＝∠M，∠ABC＝∠M+∠MAB，∠NAC＝∠N，∠ACB＝∠N+∠NAC，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；（3）当∠M＝∠N时，AB＝AC；当2∠M+∠N＝90°时，∠BAN＝90°，∴CF∥BN， CF垂直平分AN，∴AF＝FN，∴CN＝BC，∴CA＝NB＝BC，同理，当∠M+2∠N＝90°时，BA＝BC，综上所述，当∠M＝∠N、2∠M+∠N＝90°、∠M+2∠N＝90°时，△ABC是等腰三角形．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com②当点P与点M重合时，PB+CP的值最小，最小值是8cm．【变式1-1】（秋•密云区期末）已知如图，点A、点B在直线l异侧，以点A为圆心，AB长为半径作弧交直线l于C、D两点．分别以C、D为圆心，AB长为半径作弧，两弧在l下方交于点E，连接AE．（1）根据题意，利用直尺和圆规补全图形；（2）证明：l垂直平分AE．【答案】略【解答】解：（1）如图所示：（2）证明：解法一：如下图：连接AC，CE，ED，AD， AC＝AD＝AB，CE＝ED＝AB，∴AC＝CE，AD＝DE，在△ACD和△ECD中小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com ，∴△ACD≌△ECD（SSS），∴∠ACD＝∠ECD， AC＝CE，∴l垂直平分AE．解法二：如下图：连接AC，CE，ED，AD， AC＝AD＝AB，CE＝ED＝AB，∴AC＝CE，AD＝DE，∴l垂直平分AE．【变式1-2】（2020•建湖县模拟）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，相交于两点M，N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若∠A＝25°，则∠CDB＝（）A．25°B．50°C．60°D．90°【答案】B【解答】解： 根据做法可知：MN是AB的垂直平分线，∴AD＝BD， △ADC的周长为10，∴AD+CD+AC＝10，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴BD+DC+AC＝10，∴AC+BC＝10， AB＝7，∴△ABC的周长为AB+AC+BC＝7+10＝17，故选：B．【变式1-3】（2021春•龙泉驿区期末）如图，在△ABC中，线段AB的垂直平分线与AC相交于点D，连接BD，边AC的长为12cm，边BC的长为7cm，则△BCD的周长为（）A．18cmB．19cmC．20cmD．21cm【答案】B【解答】解： 线段AB的垂直平分线与AC相交于点D，∴DA＝DB，∴△BCD的周长＝BC+CD+DB＝BC+CD+DA＝BC+AC， AC＝12cm，BC＝7cm，∴△BCD的周长＝BC+AC＝12+7＝19（cm），故选：B．【变式1-4】（2022春•郓城县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．（1）求证：△ABD是等腰三角形；（2）若∠A＝40°，求∠DBC的度数；（3）若AE＝6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【解答】解：（1）证明： AB的垂直平分线MN交AC于点D，∴DB＝DA，∴△ABD是等腰三角形；（2） △ABD是等腰三角形，∠A＝40°，∴∠ABD＝∠A＝40°，∠ABC＝∠C＝（180°40°﹣）÷2＝70°∴∠DBC＝∠ABC﹣...