小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专项15等边三角形常考作辅助线法技巧1：作平行线法技巧2：截长补短法【典例1】（烟台）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．【问题解决】如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；【类比探究】如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．【答案】详见解答【解答】【问题解决】证明：在CD上截取CH＝CE，如图1所示： △ABC是等边三角形，∴∠ECH＝60°，∴△CEH是等边三角形，∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°， △DEF是等边三角形，∴DE＝FE，∠DEF＝60°，∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴∠DEH＝∠FEC，在△DEH和△FEC中，，∴△DEH≌△FEC（SAS），∴DH＝CF，∴CD＝CH+DH＝CE+CF，∴CE+CF＝CD；【类比探究】解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下： △ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图2所示： GD∥AB，∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，∴∠GDC＝∠DGC＝60°，∴△GCD为等边三角形，∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°， △EDF为等边三角形，∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，∴∠EDG＝∠FDC，在△EGD和△FCD中，，∴△EGD≌△FCD（SAS），∴EG＝FC，∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【变式1-1】（2020秋•句容市期中）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是射线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．【问题解决】如图1，点D与点B重合，求证：AE＝FC；【类比探究】（1）如图2，点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；（2）如图3，点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？直接写出你的结论．【答案】详见解答【解答】证明：【问题解决】 △ABC和△DEF是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠EDC＝60°，DE＝DF，∴∠ABC﹣∠EBC＝∠EDC﹣∠EBC，即∠ABE＝∠CBF，在△ABE和△CBF中，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com，∴△ABE≌△CBF（SAS）∴AE＝CF；【类比探究】（1）如图2，在CD上截取CH＝CE，连接EH， △ABC是等边三角形，∴∠ECH＝60°，∴△CEH是等边三角形，∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°， △DEF是等边三角形，∴DE＝FE，∠DEF＝60°，∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°，∴∠DEH＝∠FEC，在△DEH和△FEC中，，∴△DEH≌△FEC（SAS），∴DH＝CF，∴CD＝CH+DH＝CE+CF，∴CE+CF＝CD；（2）线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下： △ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图3所示： GD∥AB，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，∴∠GDC＝∠DGC＝60°，∴△GCD为等边三角形，∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°， △EDF为等边三角形，∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，∴∠EDG＝∠FDC，在△EGD和△FCD中，，∴△EGD≌△FCD（SAS），∴EG＝FC，∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．【变式1-2】（天心区期中）如图，在等边△ABC中，点D是边AC上一定点，点E是直线BC上一动点，以DE为一边作等边△DEF，连接CF．（1）如图1，若点E在边BC上，且DE⊥BC，垂足为E，求证：CD＝2CE；（2）如图1，若点E在边BC上，且DE⊥BC，垂足为E，求证：CE+CF＝CD；（3）如图2，若点E在射线CB上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．【答案】详见解答【解答】证明：（1） △ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，又 DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，∠EDC＝30°，∴CD＝2CE；（2） △DEF是等边三角形，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴DE＝DF，∠EDF＝60° ∠EDC＝30°，∴∠FDC＝30°＝∠EDC，DC＝DC，∴△EDC≌△FDC（SAS），∴CE＝CF，∴CD＝2...