更多资料添加微信号：DEM2008淘宝搜索店铺：优尖升教育网址：shop492842749.taobao.com专题4.2角的旋转问题【典例1】已知如图1，∠AOB=40°(1)若∠AOC=13∠BOC，则∠BOC=;(2)如图2，∠AOC=20°，OM为∠AOB内部的一条射线，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON=∠NOM，求4∠AON+∠COM的值；(3)如图3，∠AOC=20°，射线OM绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转一周至OB结束，在旋转过程中，设运动的时间为t，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON=∠NOM，当t在某个范围内4∠AON+∠BOM会为定值，请直接写出定值，并指出对应t的范围（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）．【思路点拨】（1）分两种情况讨论：①OC在∠AOB内部时，由∠AOC=13∠BOC得到∠BOC=34∠AOB；②OC在∠AOB外部时，由∠AOC=13∠BOC得到∠BOC=32∠AOB．（2）设∠CON=x°，根据题意用x表示有关角的度数，最终得4∠AON+∠COM的值；（3）按OM和ON的不同位置分五种情况分别讨论，记OM转过的角度为α，第一种情况：当0＜α≤60°，即0＜t≤12时；第二种情况：当60°＜α≤180°时，即12＜t≤36时；第三种情况：当180°＜α≤240°时，即36＜t≤48时；第四种情况：当240°＜α≤340°，即48＜t≤68时；第五种情况：当340°＜α≤360°，即68＜t≤72时．用t表示出有关角的度数，再求4∠AON+∠BOM的最后结果．【解题过程】解：（1）分两种情况讨论：①C在∠AOB内部时，如下图，更多资料添加微信号：DEM2008淘宝搜索店铺：优尖升教育网址：shop492842749.taobao.com更多资料添加微信号：DEM2008淘宝搜索店铺：优尖升教育网址：shop492842749.taobao.com ∠AOC=13∠BOC，∴∠BOC=34∠AOB=×40°=30°，②OC在∠AOB外部时，如下图，∠AOC=13∠BOC，∴∠BOC=32∠AOB=32×40°=60°，综上所述：∠BOC=30°或60°；故答案为：30°或60°．（2）证明：设∠AON=x°，则∠CON=（20-x）°，∠NOM=3∠CON=(60-3x）°，∠COM=(80-4x）°，所以4∠AON+∠COM=80°．（3）记OM的旋转角度为α，分五种情况讨论：第一种，当0°＜α≤60°，即0＜t≤12时，如下图，更多资料添加微信号：DEM2008淘宝搜索店铺：优尖升教育网址：shop492842749.taobao.com更多资料添加微信号：DEM2008淘宝搜索店铺：优尖升教育网址：shop492842749.taobao.com射线OM绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转得∠MOB=5t°，∴∠COM=∠COA+∠AOB-∠MOB=60°-5t°， ON是∠MOC四等分线，且3∠CON=∠NOM，∴∠CON=14∠COM，∴∠AON=∠COA-∠CON=∠COA-14∠COM=20°-14（60°-5t°）=5°+54t°，∴4∠AON+∠BOM=4（5°+54t°）+5t°=20°+10t°，∴0≤t≤12时，4∠AON+∠BOM=20°+10t°，不是定值．第二种情况：当60°＜α＜180°，即12＜t＜36时，如下图， ∠MOB=5t°，∴∠COM=∠MOB-∠BOC=5t°-60°， ∠CON=14∠COM，∴∠AON=∠COA+∠CON=∠COA+14∠COM=20°+14（5t°-60°）=5°+54t°，∴4∠AON+∠BOM=4（5°+54t°）+5t°=10t°+20°，∴12＜t＜36时，4∠AON+∠BOM不是定值．第三种情况：当180°≤α≤240°，即36≤t≤48时，如下图，更多资料添加微信号：DEM2008淘宝搜索店铺：优尖升教育网址：shop492842749.taobao.com更多资料添加微信号：DEM2008淘宝搜索店铺：优尖升教育网址：shop492842749.taobao.com由∠MOB=360°-5t°得，∠COM=5t°-60°， ON是∠MOC四等分线，且3∠CON=∠NOM，∴∠AON=∠CON+∠COA=14∠COM+∠COA=14（5t°-60°）+20°=5°+54t°，∴4∠AON+∠BOM=4（5°+54t°）+360°-5t°=380°，∴当36≤t≤48时，4∠AON+∠COM为定值380°；第四种情况：当240°＜α＜340°时，即48＜t＜68，如下图，由∠MOB=360°-5t°得，∠COM=∠MOB+∠BOC=360°-5t°+60°=420°-5t°，∴∠AON=∠CON-∠COA=14∠COM-∠COA=14（420°-5t°）-20°=85°-54t°，∴4∠AON+∠BOM=4（85°-54t°）+360°-5t°=700°-10t°，∴48＜t＜68时，4∠AON+∠COM不是定值；第五种情况：当340°≤α≤360°，即68≤t≤72时，如下图，更多资料添加微信号：DEM2008淘宝搜索店铺：优尖升教育网址：shop492842749.taobao.com更多资料添加微信号：DEM2008淘宝搜索店铺：优尖升教育网...