专题03勾股定理应用的四考法全攻略类型一、最短距离问题例1．空心玻璃圆柱的底面圆的周长是，高是5，内底面的点A有一只飞虫，要吃到B点的食物，最短路径的长是()A．6B．7C．13D．10【答案】C【详解】如图所示，连接， 空心玻璃圆柱的底面圆的周长是，∴，解得， ，高是5，∴．∴最短路径的长是13．故选：C．例2．如图，长方体的长为，宽为，高为，点在棱上，点离点的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是______．【答案】【详解】解：把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1： 长方体的宽为，高为，点离点的距离是，∴A；把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2：长方体的宽为，高为，点离点的距离是，；把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3：长方体的宽为，高为，点离点的距离是，；，蚂蚁爬行的最短距离是．故答案为：．【变式训练1】在一个长为米,宽为米的长方形草地上,如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，木块的主视图是边长为1米的正三角形，一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是______米．【答案】【详解】解：如图，将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长，长方形的长为米，长方形的宽为3米，一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是对角线，米，故答案为．【变式训练2】如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，则它爬行的最短距离为_____．【答案】13m【详解】解：如图所示，台阶平面展开图为长方形，，，则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长．由勾股定理得：，即，，故答案为：m．【变式训练3】棱长分别为两个正方体如图放置，点P在上，且，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点P，需要爬行的最短距离是______．【答案】cm．【详解】解：如图，有两种展开方法：方法一∶，方法二∶．故需要爬行的最短距离是cm．故答案为：cm．【变式训练4】如图，长方体中，P为中点，在P处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面到点P处吃蜂蜜，那么它爬行的最短路程是________________．【答案】【详解】解：如图1，如图2．【变式训练5】如图，教室的墙面与地面垂直，点在墙面上．若米，点到的距离是6米，有一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是________米．【答案】【详解】解：如图，将教室的墙面与地面展成一个平面，过P作于G，连接， 米，米，∴(米)，∴米，∴(米)．故这只蚂蚁的最短行程应该是米．故答案为：．类型二、水杯中的筷子问题例．如图，将一根长30cm的筷子，置于底面直径为10cm，高24cm的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子浸没在杯子里面的长度为hcm，则h的取值范围是()A．B．C．D．【答案】C【详解】解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子浸没在杯子里面的长度最短，∴h＝BD＝24(cm)；当筷子的底端在A点时，筷子浸没在杯子里面的长度最长，在Rt△ABD中，AD＝10cm，BD＝24cm，∴AB＝(cm)，所以h的取值范围是：24cm≤h≤26cm．故选：C．【变式训练1】如图，玻璃杯的底面半径为3cm，高为8cm，有一只长12cm的吸管任意斜放于杯中，则吸管露出杯口外的长度至少为()cmA．1B．2C．3D．4【答案】B【详解】解：如图：玻璃杯的底面半径为3cm，高为8cm， CD＝6，AD＝8，∴BD＝cm，露出杯口外的长度为＝12−10＝2cm，故选：B．【变式训练2】如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池边，它的顶端恰好到达池边的水面，求水的深度是()尺A．8B．10C．13D．12【答案】D【详解】解：设芦苇的长为x尺，即BC=x尺，则AB=(x-1)尺，AC=5尺由题意可得：，∴，解得，∴尺故选D.【变式训练3】如图，八年级一班的同学准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿竖直插到水底，此时竹竿离岸边点C处的距离米．竹竿高出水面的部分长0.2米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则人工湖的深度为()A．1.5米B．1.7米C．1.8米D．0.6米【答案】A【详解】解：设BD的长度为xm，则AB=BC=(x+0.2)m...