专题02二次根式计算的两种压轴题全攻略类型一、分母有理化问题例.已知,则的值为___________.【变式训练1】阅读下列材料,然后回答问题.①在进行二次根式的化简与运算时,我们有时会碰上如一样的式子,其实我们还可以将其进一步化简:以上这种化简的步骤叫做分母有理化.②学习数学,最重要的是学习数学思想,其中一种数学思想叫做换元的思想,它可以简化我们的计算,比如我们熟悉的下面这个题:已知ab2,ab3,求.我们可以把ab和ab看成是一个整体,令xab,yab,则.这样,我们不用求出a,b,就可以得到最后的结果.(1)计算:;(2)m是正整数,a,b且.求m.(3)已知,求的值.【变式训练2】在进行二次根式化简时,我们有时会遇到形如,这样的式子可以用如下的方法将其进一步化简:;以上这种化简的方法叫做分母有理化.(1)化简:①=,②=,③=;(2)已知n是正整数,化简=;(3)利用(2)的启示,请化简:;(4)联系与拓广:,则.【变式训练3】先阅读,再解答:由可以看出,两个含有二次根式的代数式相乘,积不含有二次根式,我们称这两个代数式互为有理化因式,在进行二次根式计算时,利用有理化因式,有时可以化去分母中的根号,例如:,请完成下列问题:(1)的有理化因式是_______;(2)化去式子分母中的根号:_____.(直接写结果)(3)(填或)(4)利用你发现的规律计算下列式子的值:【变式训练4】小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如:,善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索:.请你仿照小明的方法解决下列问题:(1),则______,_______;(2)已知是的算术平方根,求的值;(3)当时,化简_______.【变式训练5】阅读下述材料:我们在学习二次根式时,熟悉的分母有理化以及应用.其实,有一个类似的方法叫做“分子有理化”,与分母有理化类似,分母和分子都乘以分子的有理化因式,从而消掉分子中的根式,比如:,分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小,也可以用来处理一些二次根式的最值问题.例如:比较和的大小.可以先将它们分子有理化如下:,,因为,所以.再例如:求的最大值.做法如下:解:由可知,而,当时,分母有最小值2,所以y的最大值是2.解决下述问题:(1)比较和的大小;(2)求的最大值和最小值.类型二、规律性问题例.阅读材料已知下面一列等式:;;;(1)请用含的等式表示你发现的规律___________________;(2)证明一下你写的等式成立;(3)利用等式计算:;(4)计算:.【变式训练1】阅读下列材料,解答后面的问题:;;(1)写出下一个等式;(2)计算的值;(3)请求出的运算结果.【变式训练2】观察下列各式及证明过程:①;②;③.验证:;.(1)按照上述等式及验证过程的基本思想,猜想的变形结果,并进行验证;(2)针对上述各式反映的规律,写出用(为正整数,且)表示的等式.【变式训练3】观察下列一组式的变形过程,然后回答问题:,,,…(1)填空:=;(2)请你用含n(n为正整数)的关系式表示上述各式子的变形规律.并证明你的结论.(3)利用上面的结论,求下列式子的值:.【变式训练4】(1)用计算器计算:________________;_______________;_____________;____________.(2)观察(1)中各式的计算结果,你能发现什么规律?(3)试运用发现的规律猜想出下式的结果,并用计算器验证你的猜想__________.