专题02二次根式计算的两种压轴题全攻略类型一、分母有理化问题例.已知,则的值为___________.【答案】【详解】解: ,∴,∴故答案为:【变式训练1】阅读下列材料,然后回答问题.①在进行二次根式的化简与运算时,我们有时会碰上如一样的式子,其实我们还可以将其进一步化简:以上这种化简的步骤叫做分母有理化.②学习数学,最重要的是学习数学思想,其中一种数学思想叫做换元的思想,它可以简化我们的计算,比如我们熟悉的下面这个题:已知ab2,ab3,求.我们可以把ab和ab看成是一个整体,令xab,yab,则.这样,我们不用求出a,b,就可以得到最后的结果.(1)计算:;(2)m是正整数,a,b且.求m.(3)已知,求的值.【答案】(1)(2)m=2(3)【详解】(1)原式,(2) a,b,∴, ,∴,∴,∴,∴2, m是正整数,∴m=2.(3)由得出,∴, , ,∴.【变式训练2】在进行二次根式化简时,我们有时会遇到形如,这样的式子可以用如下的方法将其进一步化简:;以上这种化简的方法叫做分母有理化.(1)化简:①=,②=,③=;(2)已知n是正整数,化简=;(3)利用(2)的启示,请化简:;(4)联系与拓广:,则.【答案】(1);;(2)(3)(4)727【详解】(1)解:①;②;③故答案为:;;;(2)解:=;(3)==;(4)解: ,∴,∴,∴,∴,∴,故答案为:727.【变式训练3】先阅读,再解答:由可以看出,两个含有二次根式的代数式相乘,积不含有二次根式,我们称这两个代数式互为有理化因式,在进行二次根式计算时,利用有理化因式,有时可以化去分母中的根号,例如:,请完成下列问题:(1)的有理化因式是_______;(2)化去式子分母中的根号:_____.(直接写结果)(3)(填或)(4)利用你发现的规律计算下列式子的值:【答案】(1)+1;(2);(3)<;(4)2017.【详解】解:(1)-1的有理化因式是+1;(2);(3),, ∴>∴<;(4)原式===2018-1=2017.【变式训练4】小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如:,善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索:.请你仿照小明的方法解决下列问题:(1),则______,_______;(2)已知是的算术平方根,求的值;(3)当时,化简_______.【答案】(1)2,1;(2)-2018;(3)2.【详解】解:(1) ,∴a=2,b=1;故答案为:2,1(2) 是的算术平方根,∴,∴;(3) ,∴,,.故答案为:2【变式训练5】阅读下述材料:我们在学习二次根式时,熟悉的分母有理化以及应用.其实,有一个类似的方法叫做“分子有理化”,与分母有理化类似,分母和分子都乘以分子的有理化因式,从而消掉分子中的根式,比如:,分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小,也可以用来处理一些二次根式的最值问题.例如:比较和的大小.可以先将它们分子有理化如下:,,因为,所以.再例如:求的最大值.做法如下:解:由可知,而,当时,分母有最小值2,所以y的最大值是2.解决下述问题:(1)比较和的大小;(2)求的最大值和最小值.【答案】(1);(2)的最大值为2,最小值为.【详解】解:(1),,而,,,;(2)由,,得,,∴当时,有最小值,则有最大值1,此时有最大值1,所以的最大值为2;当时,有最大值,则有最小值,此时有最小值0,所以的最小值为.类型二、规律性问题例.阅读材料已知下面一列等式:;;;(1)请用含的等式表示你发现的规律___________________;(2)证明一下你写的等式成立;(3)利用等式计算:;(4)计算:.【答案】(1)(2)见解析(3)(4)【详解】(1)解:根据题意,由规律可得:它的一般性等式为;(2)证明:原式成立;(3)解:;(4)解:.【变式训练1】阅读下列材料,解答后面的问题:;;(1)写出下一个等式;(2)计算的值;(3)请求出的运算结果.【答案】(1)(2)(3)【详解】(1)解:(2)解:.(3)解:【变式训练2】观察下列各式及证明过程:①;②;③.验证:;.(1)按照上述等式及验证过程的基本思想,猜想的变形结果,并进行验证;(2)针对上述各式反映的规律,写出用(为正整数,且)表示的等式.【答案】(1),验证见解析;(2)(为正整数,).【详解】解:(1)猜想:验证:;(2)(为正整数,).【变式训练3】观察下列一组式的变形过程,...