专题05平行四边形的四种几何综合问题类型一、折叠问题例．如图，在平行四边形中，．点M是边的中点，点N是边上的一个动点．将沿所在的直线翻折到，连接．则线段长度的最小值为()A．5B．7C．D．例2．如图，在中，，，点E、F分别在上，将四边形沿折叠得四边形，恰好垂直于，若，则的值为()A．3B．C．D．【变式训练1】如图，平行四边形中，＝，°，将沿边折叠得到，交于，，则点到的距离为______．【变式训练2】如图，平行四边形中，点E在上，以为折痕，把向上翻折，点A正好落在边的点F处，若的周长为6，的周长为，那么的长为_________．【变式训练3】如图，在中，，，将沿射线平移，得到，再将沿射线翻折，得到，连接、，则的最小值为____________【变式训练4】如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AB、AD上，将△AEF沿EF折叠，点A恰好落在BC边上的点G处．若∠A=45°，AB=6，5BE=AE．则AF长度为_____．类型二、平行四边形中的最值问题例．(将军饮马模型)如图，在中，，，，点E在上，，点P是边上的一动点，连接，则的最小值是________．【变式训练1】如图，在中，，，D是BC边上任意一点，连接AD，以AD，CD为邻边作平行四边形ADCE，连接DE，则DE长的最小值为___________．【变式训练2】如图，在平行四边形中，，E为边上的一动点，那么的最小值等于______．【变式训练3】如图，，，，，，射线交边于点，点为射线上一点，以，为边作平行四边形，连接，则最小值为______．【变式训练4】如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以、为邻边作，连接，则的最小值为______．类型三、动点问题例．在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，BC＝10cm，M是BC上一点，且BM=4cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为_____时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．【变式训练1】如图，在四边形中，，且，点P，Q分别从A，C两点同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由向C运动B，则_____秒后四边形成为一个平行四边形．【变式训练2】如图，在四边形中，．点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，使和，分别需经过多少时间？为什么？类型四、旋转问题例．如图1，在中，，，点D，E分别在边，上，，连接，，点M，P，N分别为，，的中点．(1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是___________，位置关系是___________；(2)探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；(3)拓展延伸：若，，绕点A在平面内旋转过程中，请求出的面积取得最大值时的长．【变式训练1】在中，，．在中，，．连接，M为线段的中点，连接．绕点A旋转，若，，的最大值为()A．5B．C．7D．【变式训练2】如图，是等腰直角三角形，，，线段可绕点在平面内旋转，．(1)若，在线段旋转过程中，当点，，三点在同一直线上时，直接写出的长．(2)如图，若将线段绕点按顺时针方向旋转，得到线段，连接，．①当点的位置由外的点转到其内的点处，且，时，求的长；②如图，若，连接，将绕点在平面内旋转，分别取，，的中点，，，连接，，，请直接写出面积的取值范围．【变式训练3】在中，点P为边中点，直线a绕顶点A旋转，于点M．于点N，连接．(1)如图1，若点B，P在直线a的异侧，延长交于点E．求证：；(2)若直线a绕点A旋转到图2的位置时，点在直线a的同侧，其它条件不变，此时，，求MN的长度．(3)若过P点作于点G，试探究线段和的数量关系．