专题05平行四边形的四种几何综合问题类型一、折叠问题例.如图,在平行四边形中,.点M是边的中点,点N是边上的一个动点.将沿所在的直线翻折到,连接.则线段长度的最小值为()A.5B.7C.D.【答案】A【详解】解:如图:连接,作, 四边形是平行四边形,∴,∴且,∴,∴; M是中点,∴,∴,∴; 折叠,∴,∴当三点共线时,的长度最小,∴此时,故选:A.例2.如图,在中,,,点E、F分别在上,将四边形沿折叠得四边形,恰好垂直于,若,则的值为()A.3B.C.D.【答案】C【详解】解:延长交于点H, 恰好垂直于,且四边形是平行四边形,∴也垂直于,由折叠的性质得,,,,∴,∴,,在中,,,∴,,∴,由折叠的性质得,∴,∴,∴是等腰直角三角形,∴,∴,故选:C.【变式训练1】如图,平行四边形中,=,°,将沿边折叠得到,交于,,则点到的距离为______.【答案】【详解】解:由折叠知:,,, 四边形是平行四边形,∴,∴∠,∴,∴,过点作,垂足为F,∴, ,∴,∴,中,,∴, ,∴,∴,∴, ,∴,∴,∴,故答案为:.【变式训练2】如图,平行四边形中,点E在上,以为折痕,把向上翻折,点A正好落在边的点F处,若的周长为6,的周长为,那么的长为_________.【答案】7【详解】 向上翻折,点A正好落在边上,∴,, 的周长为6,的周长为20,∴,,∴,∴ ,,∴, 四边形是平行四边形,∴,即,∴.故答案为:7.【变式训练3】如图,在中,,,将沿射线平移,得到,再将沿射线翻折,得到,连接、,则的最小值为____________【答案】45【详解】解:如图,连接、,作点D关于直线的对成点T,连接、、. ,,将沿射线平移,得到,再将沿射线翻折,得到,∴,,, ,∴, D、T关于对称,∴,,∴, ,∴B、A、T共线,∴, ,,∴四边形EGCD是平行四边形,∴,∴, ,∴,∴,则的最小值为45.故答案为:45.【变式训练4】如图,在▱ABCD中,点E,F分别在边AB、AD上,将△AEF沿EF折叠,点A恰好落在BC边上的点G处.若∠A=45°,AB=6,5BE=AE.则AF长度为_____.【答案】【详解】解:如图,过点B作BM⊥AD于点M,过点F作FH⊥BC于点H,过点E作EN⊥CB延长线于点N,得矩形BHFM,∴∠MBC=90°,MB=FH,FM=BH, AB=6,5BE=AE,∴AE=5,BE=,由折叠的性质可知:GE=AE=5,GF=AF, 四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABN=∠A=45°,∴△BEN和△ABM是等腰直角三角形,∴EN=BN=BE=1,AM=BM=AB=6,∴FH=BM=6,在Rt△GEN中,根据勾股定理,得,∴,解得GN=±7(负值舍去),∴GN=7,设MF=BH=x,则GH=GN-BN-BH=7-1-x=6-x,GF=AF=AM+FM=6+x,在Rt△GFH中,根据勾股定理,得,∴,解得x=,∴AF=AM+FM=6+=.∴AF长度为.故答案为:.类型二、平行四边形中的最值问题例.(将军饮马模型)如图,在中,,,,点E在上,,点P是边上的一动点,连接,则的最小值是________.【答案】【详解】解:过点A作直线的对称点F,连接,连接交于点P,此时有最小值,最小值为的长, 点A与点F关于直线对称,∴,,则,∴是等边三角形, 在中,,∴,过点E作直线的垂线,垂足为点G, ,∴,∴,,∴,∴,∴的最小值是.故答案为:.【变式训练1】如图,在中,,,D是BC边上任意一点,连接AD,以AD,CD为邻边作平行四边形ADCE,连接DE,则DE长的最小值为___________.【答案】9.6【详解】设交于点,过点作于点,如图所示,在四边形中,,, ,∴, ,∴,在中,, ,∴,当点与点,重合时,最小,∴的最小值为.故答案为:.【变式训练2】如图,在平行四边形中,,E为边上的一动点,那么的最小值等于______.【答案】3【详解】解:如图,过作交的延长线于点, 四边形为平行四边形,∴,∴,∴,∴, ,∴当三点共线时,线段的和最小, ,,∴,即:的最小值等于3;故答案为:3.【变式训练3】如图,,,,,,射线交边于点,点为射线上一点,以,为边作平行四边形,连接,则最小值为______.【答案】【详解】解:如图,延长到,使得,连接,过点作于点.四边形是平行四边形,,,,,四边形是平行四边形,,,,,,,,,,,,,点在射线上运动,当点与重合时,的值最小,在中,,,,,....