专题05整式中的两种规律探索问题类型一、数字类规律探索例.观察：(x1)(﹣x+1)＝x21﹣，(x1)(﹣x2+x+1)＝x31﹣，(x1)(﹣x3+x2+x+1)＝x41﹣，据此规律，当(x1)﹣(x5+x4+x3+x2+x+1)＝0时，代数式x20191﹣的值为_____．【答案】0或﹣2【详解】解：根据题意得∶(x1)(﹣x+1)＝x21﹣，(x1)(﹣x2+x+1)＝x31﹣，(x1)(﹣x3+x2+x+1)＝x41﹣，……∴(x1)(﹣x5+x4+x3+x2+x+1)＝x61﹣ (x1)(﹣x5+x4+x3+x2+x+1)＝0，∴x61﹣＝0，解得：x＝1或x＝﹣1，则x20191﹣＝0或﹣2，故答案为：0或﹣2．【变式训练1】a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为，－1的差倒数为，已知，是差倒数，是差倒数，是差倒数，以此类推……，的值是()A．5B．C．D．【答案】B【解析】 ，是的差倒数，∴， 是的差倒数，是的差倒数，∴，∴，根据规律可得以，，为周期进行循环，因为2021＝673×3…2，所以．故选B．【变式训练2】有2021个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间数等于前后两数的和，如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是______，这2021个数的和是______．【答案】01【解析】由题意得：第3个数是，第4个数是，第5个数是，第6个数是，则前6个数的和是，第7个数是，第8个数是，归纳类推得：这2021个数是按循环往复的，，且前6个数的和是0，这2021个数的和与前5个数的和相等，即为，故答案为：0，1．【变式训练3】有一列数，…，那么第n个数为______．【答案】【详解】解：，，，，，……由此发现：第n个数为．故答案为：【变式训练4】杨辉三角又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下面的杨辉三角：按照前面的规律，则的展开式中从左起第三项为______．【答案】【详解】解：根据题意，=，∴的展开式中从左起第三项为，故答案为：．类型二、图形类规律探索例.如图，两条直线相交，有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有______个交点，n条直线相交最多有______个交点．【答案】6【详解】解：如图，两条直线相交最多有1个交点，即；三条直线相交最多有3个交点，即；四条直线相交最多有6个交点，即，五条直线相交最多有10个交点，即，……∴n条直线两两相交，最多有个交点(n为正整数，且n≥2)．故答案为6；．【变式训练1】如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第_____个图形共有45个小球．【答案】9【详解】解：第1个图中有1个小球，第2个图中有3个小球，3=1+2，第3个图中有6个小球，6=1+2+3，第4个图中有10个小球，10=1+2+3+4，……照此规律，第n个图形有1+2+3+4+…+n=n(1+n)个小球，∴n(1+n)=45，解得n=9或-10(舍去)，故答案为：9．【变式训练2】为庆祝“六·一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律，摆第n个“金鱼”和第(n＋1)个“金鱼”需用火柴棒的根数为130根，则n的值为______．【答案】10【详解】解：由题可知：第n个图形有(6n+2)根火柴棒，第(n+1)个图形有(6n+8)根火柴棒， 摆第n个“金鱼”和第(n＋1)个“金鱼”需用火柴棒的根数为130根，∴6n+2+6n+8=130，解得n=10．故答案为：10．【变式训练3】如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第10层中含有正三角形个数为___个，第层含有正三角形个数为___个．【答案】114【解析】根据题意分析可得：从里向外的第1层包括6个正三角形，第2层包括18个正三角形，此后，每层都比前一层多12个，依此递推，第10层中含有正三角形个数是6+12×9=114个，则第n层中含有正三角形个数是6+12×(n-1)=个，故答案为：114，．【变式训练4】观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，用6064个五角星摆出的图案应该是第_______个图形．【答案】2021【解析】观察发现，第1个图形五角星的个数是：1+3＝4，第2个图形五角星的个数是：1+3×2＝7，第3个图形五角星的个数是：1+3×3＝10，第4个图形五角星的个数是：1+3×4＝13，⋯第n个图形五角星的个数是：1+3•n＝1+3n...