第1页共206页专题10二次函数中面积的最值问题（六大题型）通用的解题思路：二次函数中的面积最值问题通常有以下3种解题方法：1）当所求图形的面积没有办法直接求出时，通常采用分割或补全图形的方法表示所求图形的面积，如下：一般步骤为：①设出要求的点的坐标；②通过割补将要求的图形转化成通过条件可以表示的图形面积和或差；③列出关系式求解；④检验是否每个坐标都符合题意．2）用铅垂定理巧求斜三角形面积的计算公式：三角形面积等于水平宽和铅锤高乘积的一半.3）利用平行线间的距离处处相等，根据同底等高，将所求图形的面积转移到另一个图形中，如图所示：第2页共206页一般步骤为：①设出直线解析式，两条平行直线k值相等；②通过已知点的坐标，求出直线解析式；③求出题意中要求点的坐标；④检验是否每个坐标都符合题意．压轴题预测题型01三角形面积最值问题1．（2024·宁夏银川·一模）如图，二次函数26yxx的图象与x轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点15B，，与y轴交于点C．(1)求直线AB的函数表达式及点C的坐标；(2)点P是二次函数图象上的一个动点，且在直线AB上方，过点P作直线PEx轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m．①当12PDOC时，求m的值；②设PAB的面积为S，求S关于m的函数表达式，并求出S的最大值．2．（2024·新疆克孜勒苏·二模）如图，抛物线²yxbxc（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，2,0A，6AB，点P为线段AB上的动点，过P作PQBC∥交AC于点Q．第3页共206页(1)求抛物线的解析式；(2)求CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标．3．（23-24九年级下·湖北武汉·开学考试）如图，抛物线243yaxaxa交x轴于,AB两点（点A在点B的左侧），交y轴正半轴于点,COBOC，点P在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)若tan2ACP，求点P的横坐标．(3)平面上有两点,3,2,5MmmNmm，求PMN的面积的最小值．第4页共206页4．（23-24九年级下·辽宁沈阳·阶段练习）ABC中，90BAC，2AB，4AC，点P从点C出发，沿射线CA方向运动，速度为每秒1个单位长度，同时点Q以相同的速度从点B出发，沿射线BA方向运动．设运动时间为x（2x且4x）秒，APQ△的面积为S．(1)当02x时，如图①，求S与x的函数关系式；(2)当24x时，如图②，求S的最大值；(3)若在运动过程中，存在两个时刻1x，2x，对应的点P和点Q分别记为1P，2P和1Q，2Q，对应的11APQ△和22APQ△的面积分别记为1S和2S，且当CPPP112时，12SS=，请求出1x的值．5．（2023·山东聊城·二模）如图，抛物线2yxbxc与x轴交于AB，两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为1,0，与y轴交于点0,3C，直线:23CDyx与x轴交于点D．动点M在抛物线上运动，过点M作MPx轴，垂足为点P，交直线CD于点N．第5页共206页(1)求抛物线的表达式；(2)当点P在线段OD上时，△CDM的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；(3)点M在运动过程中，能否使以CNM，，为顶点的三角形是以NM为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标．6．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，一次函数333yx的图象与坐标轴交于点A、B，抛物线233yxbxc的图象经过A、B两点．(1)求二次函数的表达式；(2)若点P为抛物线上一动点，在直线AB上方是否存在点P使PAB的面积最大？若存在，请求出PAB面积的最大值及点P的坐标，请说明理由．第6页共206页7．（2024·甘肃陇南·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线3yx与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线2yaxbxc与x轴交于另一点1,0B，抛物线对称轴为直线l．(1)求抛物线的解析式；(2)点M为直线AC下方抛物线上一点，当MAC△的面积最大时，求点M的坐标；(3)点P是抛物线上一点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上一点．要使得以P，D，E为顶点的三角形与BOC全等，请直接写出点P的坐标．8．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知抛物线23yxbx与x轴交于A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OBOC．第7页共206页(1)求抛物线的解析式和点A的...
