小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com矩形存在性问题巩固练习1．如图，抛物线y¿−13x2+43x+1与y轴交于点A，对称轴交x轴于点B，连AB，点P在y轴上，点Q在抛物线上，是否存在点P和Q，使四边形ABPQ为矩形？若存在，求点Q的坐标．【分析】先令x＝0，求出y的值得到AO的长度，根据对称轴解析式求出OB的长度，根据矩形的四个角都是直角可得∠ABP＝90°，然后求出∠BAO＝∠PBO，从而得到△AOB和△BOP相似，利用相似三角形对应边成比例求出OP的长度，再根据矩形的对称性求出矩形的中心C的坐标，然后求出点Q的坐标，再根据二次函数图象上点的坐标特征把点Q的坐标代入抛物线解析式进行验证即可．【解答】解：存在点P和点Q，使四边形ABPQ为矩形，理由如下：令x＝0，则y＝1，∴AO＝1， 抛物线对称轴为直线x¿−432×(−13)=¿2，∴OB＝2， 四边形ABPQ为矩形，∴∠ABO+∠PBO＝∠ABP＝90°， ∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠BAO＝∠PBO，又 ∠AOB＝∠BOP＝90°，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴△AOB△∽BOP，∴AOOB=OBOP，即12=2OP，解得OP＝4，∴点P的坐标为（0，﹣4），∴AP的中点，即矩形的中心C的坐标是（0，﹣1.5），设点Q（x，y），则x+22=¿0，y+02=−¿1.5，解得x＝﹣2，y＝﹣3，∴点Q的坐标为（﹣2，﹣3），当x＝﹣2时，y¿−13×（﹣2）2+43×（﹣2）+1¿−43−83+¿1＝﹣4+1＝﹣3，∴点Q在抛物线y¿−13x2+43x+1上，故存在点Q（﹣2，﹣3），使四边形ABPQ为矩形，点Q的坐标为（﹣2，﹣3）．【点评】本题是二次函数综合题型，主要利用了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，中心对称的点的坐标求出以及二次函数图象上点的坐标特征，利用中心对称求出点Q的坐标是解题的关键．2．在平面直角坐标系中，∠ACO＝90°．把AO绕O点顺时针旋转90°得OB，连接AB，作BD⊥x轴于D，点A的坐标为（﹣3，1）．（1）求直线AB的解析式；（2）若AB中点为M，连接CM，点P是射线CM上的动点，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，设点P的横坐标为t，△PQO的面积为S（S≠0），求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，动点P在运动过程中，是否存在P点，使以P、O、B、N（N为平面上一点）为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【分析】（1）先证明△AOC△≌OBD，得出AC＝OD＝1，OC＝BD＝3，B（1，3），设直线AB的解析式为：y＝kx+b，把点A（﹣3，1），B（1，3）代入得出方程组，解方程组求出k、b，即可得出直线AB的解析式；（2）先求出M的坐标，再求出直线CM的解析式，得出P的坐标，即可得出S与t的函数关系式以及t的取值范围；（3）分两种情况：①点P为直线OA与CM的交点时，由直线OA和CM的解析式组成方程组，解方程组即可求出P的坐标；②作BP⊥OB交CM于P，求出直线BP的解析式，再求出直线BP与CM的交点坐标即可．【解答】解：（1）根据题意得：OA＝OB，∠AOB＝90°，OC＝3，AC＝1，C（﹣3，0），∴∠AOC+∠BOD＝90°， BD⊥x轴于D，∴∠BDO＝90°，∴∠OBD+∠BOD＝90°，∴∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△OBD中，¿，∴△AOC≌△OBD（AAS），∴AC＝OD＝1，OC＝BD＝3，∴B（1，3），设直线AB的解析式为：y＝kx+b，把点A（﹣3，1），B（1，3）代入得：{−3k+b=1k+b=1，解得：k¿12，b¿52，∴直线AB的解析式为：y¿12x+52；（2） M是AB的中点，A（﹣3，1），B（1，3），小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴M（﹣1，2），设直线CM的解析式为：y＝ax+c，把点C（﹣3，0），M（﹣1，2）代入得：{−3a+c=0−a+c=2，解得：a＝1，c＝3，∴直线CM的解析式为：y＝x+3，设P的坐标为（t，t+3），则△PQO的面积S¿12×t×（t+3）¿12t2+3...