小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com弦图模型巩固练习1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b．AB＝c，将Rt△ABC绕点O依次旋转90°、180°和270°，构成的图形如图所示，该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据．（1）请你利用这个图形证明勾股定理．（2）请你利用这个图形说明a2+b2≥2ab，并说明等号成立的条件．（3）设a¿❑√x，b¿❑√y，代入a2+b2≥2ab中，你能得到什么结论？根据你得到的结论解决下面的问题：长为x，宽为y的矩形，其周长为16，请问当x，y取何值时，该矩形面积最大？最大面积是多少？【分析】（1）根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．（2）利用非负数的性质证明即可．（3）把a、b的值代入a2+b2≥2ab中，进行计算得到a+b≥2❑√ab．利用该结论求得当x，y取何值时，该矩形面积最大以及其最大面积．【解答】解：（1） 大正方形面积为c2，直角三角形面积为12ab，小正方形面积为：（b﹣a）2，∴c2＝4×12ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2即c2＝a2+b2．（2） （a﹣b）2≥0，∴a2﹣2ab+b2≥0，∴a2+b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．（3）把a¿❑√x，b¿❑√y，代入a2+b2≥2ab中得到：a+b≥2❑√ab．依题意得：x+y＝8．则x+y≥2❑√xy，即8≥2❑√xy，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴xy≤16，当且仅当x＝y＝4时取“＝”．∴当x＝y＝4时，该矩形面积最大，最大面积是16．【点评】本题考查了四边形综合题．需要学生掌握勾股定理的证明和以及非负数的性质，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键．2．如图1，在计算阴影部分面积时，我们可以用边长为a的大正方形面积减去边长为b的小正方面积，即：S＝a2﹣b2．我们也可以把图中阴影部分剪下一个小长方形，然后按图2把阴影部分拼接成一个长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形来计算面积，即：S＝（a+b）（a﹣b），因为阴影部分的面积相等，我们可以得到a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），这恰好验证了平方差公式．（1）图3中最大正方形的面积算法也可以验证一个乘法公式，请用含a和b的代数式写出这个公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2或a2+2ab+b2＝（a+b）2．（2）图4是著名的“赵爽弦图”，它是由四个形状大小完全一致的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，我国古代数学家赵爽利用此图验证了直角三角形的斜边c和两直角边a和b之间存在一个固定的等量关系，请你求出关于a、b、c的关系式．【分析】（1）根据图3的各个部分的面积可得完全平方公式；（2）通过图中小正方形面积证明勾股定理．【解答】解：（1）由题意可得：（a+b）2＝a2+2ab+b2或a2+2ab+b2＝（a+b）2．故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2或a2+2ab+b2＝（a+b）2．（2）S大正方形=c2=¿b2﹣2ab+a2+2ab＝a2+b2．【点评】本题考查了因式分解的应用，用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．3．教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c），也可以表示为4×12ab+（a小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com﹣b）2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．（2）如图③，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值...