小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题18三角形面积求最值问题1．（2021—2022四川泸州市九年级期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣2，0），B（4，0），C（0，8）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，求△CBF的最大面积及此时点E的坐标．【答案】（1）y＝−x2＋2x＋8；（2）存在，P（1，）或（1，−）或（1，16）或（1，）；（3）当△CBF的面积最大，最大面积为8，此时E点坐标为（2，4）．【分析】（1）由A、B、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）可设出P点坐标，则可表示出PC、PD和CD的长，分PD＝CD、PC＝CD、PD＝PC三种情况分别得到关于P点坐标的方程，可求得P点坐标；（3）由B、C的坐标可求得直线BC的解析式，可设出E点坐标，则可表示出F点的坐标，从而可表示出EF的长，可表示出△CBF的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值及此时点E的坐标．【详解】解：（1） A（﹣2，0），B（4，0），C（0，8）在抛物线上，则小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com解得∴抛物线解析式为y＝−x2＋2x＋8；（2）存在，理由： y＝−x2＋2x＋8＝（−x−1）2＋9，∴抛物线对称轴为直线x＝1，∴D（1，0），且C（0，8），∴CD＝， 点P在对称轴上，∴可设P（1，t），∴PD＝|t|，PC＝， CD＝∴当PD＝CD时，则有|t|＝，解得t＝±，此时P点坐标为（1，）或（1，−）；当PC＝CD时，则有=解得t＝0（与D重合，舍去）或t＝16，此时P点坐标为（1，16）；当PD＝PC时，则有|t|=解得t＝，此时P点坐标为（1，）综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（1，）或（1，−）或（1，16）或（1，）；（3） C（0，8），B（4，0）设直线BC解析式为y＝kx＋s，由题意可得小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com解得∴直线BC解析式为y＝−2x＋8， 点E是线段BC上的一个动点，∴可设E（m，−2m＋8），则F（m，−m2＋2m＋8），∴EF＝−m2＋2m＋8−（−2m＋8）＝−m2＋4m，∴S△CBF＝×OB×EF＝×4×（−m2＋4m）=−2（m−2）2＋8， −1＜0，∴当m＝2时，S△CBF有最大值，最大值为8，此时E（2，4），∴当△CBF的面积最大，最大面积为8，此时E点坐标为（2，4）．【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用P点的坐标表示出PC、PD、PC是解题的关键，在（3）中用E点坐标表示出△CBF的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．2．（2021—2022辽宁盖州市九年级月考）如图，对称轴x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），（1）求抛物线和直线BC的函数表达式；（2）若点Q是直线BC上方的抛物线上的动点，求△BQC的面积的最大值；（3）点P为抛物线上的一个动点，过点P作过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．若点P在第四象限内，当OD＝4PE时，△PBE的面积；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（4）在（3）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线表达式为；直线表达式为；（2）△BQC的面积的最大值为2（3）△PBE的面积为（4）点N的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．【分析】（1）首先根据二次函数的对称性求出点B的坐标，然后利用...